Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) có phương trình \(y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d

Câu hỏi số 613893:

Vận dụng

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) có phương trình \(y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right)\) có phương trình \(y = 2mx + 3 - 2m\) (với m là tham số)

1) Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm \(A\left( {2;1} \right)\)

2) Chứng minh rằng đường thẳng \(\left( d \right)\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A,\,\,B\). Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) lần lượt là hoành độ các điểm \(A,\,\,B\). Tìm m để \({x_1},\,\,{x_2}\) là độ dài hai cạnh của một hình chữ nhật có đường chéo bằng \(\sqrt {14} \).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:613893

Phương pháp giải

1. Thay tọa độ \(A\left( {2;1} \right)\) vào (d) tìm m

2. Xét phương trình hoành độ giao điểm (d) và (P), chứng minh \(\Delta > 0\), áp dụng hệ thức viet \({x_1}^2 + {x_2}^2 = {\sqrt {14} ^2} = 14\)

Giải chi tiết

1) Thay \(x = 2,\,\,y = 1\) vào phương trình đường thẳng \(\left( d \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}1 = 2m.2 + 3 - 2m\\ \Leftrightarrow 1 = 2m + 3\\ \Leftrightarrow 2m = - 2\\ \Leftrightarrow m = - 1\end{array}\)

Vậy với \(m = - 1\) thì đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua điểm \(A\left( {2;1} \right)\)

2) Hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) là nghiệm của phương trình:

\({x^2} = 2mx + 3 - 2m \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + 2m - 3 = 0\,\,\left( * \right)\)

Ta có: \(\Delta ' = {m^2} - 2m + 3 = {\left( {m - 1} \right)^2} + 2 > 0\,\,\forall m\)

\( \Rightarrow \) Phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

\( \Rightarrow \) \(\left( d \right)\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A,\,\,B\).

Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) lần lượt là hoành độ các điểm \(A,\,\,B\) \( \Rightarrow {x_1},\,\,{x_2}\) là hai nghiệm phân biệt của phương trình (*).

Lại có \({x_1},\,\,{x_2}\) là độ dài hai cạnh của một hình chữ nhật nên (*) có hai nghiệm phân biệt dương.

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} > 0\\{x_1}{x_2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m > 0\\2m - 3 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\m > \dfrac{3}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow m > \dfrac{3}{2}\)

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} = 2m - 3\end{array} \right.\)

\({x_1},\,\,{x_2}\) là độ dài hai cạnh của một hình chữ nhật có đường chéo bằng \(\sqrt {14} \) nên áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ta có: \(x_1^2 + x_2^2 = 14\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 14\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 2\left( {2m - 3} \right) = 14\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 4m + 6 = 14\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 4m - 8 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - m - 2 = 0\end{array}\)

Ta có: \(a - b + c = 1 - \left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right) = 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}m = - 1\,\,\left( {ktm} \right)\\m = - \dfrac{{ - 2}}{1} = 2\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\).

Vậy \(m = 2\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link