Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh đều bằng \(a\). Một mặt phẳng thay

Câu hỏi số 614582:

Vận dụng

Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh đều bằng \(a\). Một mặt phẳng thay đổi, vuông góc với \(SO\) và cắt \(SO,SA,SB,SC,SD\) lần lượt tại \(I,M,N,P,Q\). Một hình trụ có một đáy là đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(MNPQ\) và một đáy nằm trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Thể tích khối trụ lớn nhất bằng

A. \(\dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 2 }}{8}\).

B. \(\dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{27}}\).

C. \(\dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 2 }}{2}\).

D. \(\dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 2 }}{{27}}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:614582

Giải chi tiết

\(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng \(a\).

\( \Rightarrow SO = OA = OB = OC = OD = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }}\).

Giả sử bán kính đường tròn đáy của khối trụ là: \(r = IM = x\).

Ta có: \(\dfrac{{IM}}{{OA}} = \dfrac{{SI}}{{SO}} \Rightarrow \dfrac{{OA - IM}}{{OA}} = \dfrac{{SO - SI}}{{SO}} \Rightarrow \dfrac{{\dfrac{a}{{\sqrt 2 }} - x}}{{\dfrac{a}{{\sqrt 2 }}}} = \dfrac{{OI}}{{\dfrac{a}{{\sqrt 2 }}}}\).

\( \Rightarrow h = OI = \dfrac{{a - x\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }}\).

Thể tích khối trụ là: \(V = \pi {r^2}h = \pi .{x^2}.\dfrac{{a - x\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\pi .\left( {a{x^2} - {x^3}\sqrt 2 } \right)\).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = a{x^2} - {x^3}\sqrt 2 ,\,\,x \in \left( {0;\dfrac{a}{{\sqrt 2 }}} \right)\),

có: \(f'\left( x \right) = 2ax - 3{x^2}\sqrt 2 ,\,\,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\left( L \right)\\x = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{3}\end{array} \right.\)

Ta có: \(f\left( 0 \right) = f\left( {\dfrac{a}{{\sqrt 2 }}} \right) = 0,f\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{3}} \right) = \dfrac{{2{a^3}}}{{27}}\,\)

\( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left( {0;\dfrac{a}{{\sqrt 2 }}} \right)} f\left( x \right) = \dfrac{{2{a^3}}}{{27}}\)

\( \Rightarrow {V_{\max }} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\pi .\dfrac{{2{a^3}}}{{27}} = \dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 2 }}{{27}}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.