Gọi \(a\) là số thực lớn nhất để bất phương trình \({x^2} - x + 2 + a\ln \left( {{x^2} - x + 1}

Câu hỏi số 614583:

Vận dụng cao

Gọi \(a\) là số thực lớn nhất để bất phương trình \({x^2} - x + 2 + a\ln \left( {{x^2} - x + 1} \right) \ge 0\) nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \(a \in \left( {2;3} \right]\).

B. \(a \in \left( {6;7} \right]\).

C. \(a \in \left( {8; + \infty } \right)\).

D. \(a \in \left( { - 6; - 5} \right]\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:614583

Phương pháp giải

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để đánh giá.

Giải chi tiết

Đặt \({x^2} - x + 1 = t\,\,\left( {t \ge \dfrac{3}{4}} \right)\). BPT trở thành \(t + 1 + a\ln t \ge 0\) (*)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = t + 1 + a\ln t\) trên khoảng \(\left[ {\dfrac{3}{4}; + \infty } \right)\),

ta có : \(f'\left( t \right) = 1 + \dfrac{a}{t} = \dfrac{{t + a}}{t}\).

Do đề bài yêu cầu tìm giá trị lớn nhất của \(a\) nên ta xét \(a > 0\) :

Khi đó: \(f'\left( t \right) > 0 \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left[ {\dfrac{3}{4}; + \infty } \right)\).

\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {\dfrac{3}{4}; + \infty } \right)} f\left( t \right) = f\left( {\dfrac{3}{4}} \right) = \dfrac{7}{4} + a\ln \dfrac{3}{4}\)

Để (*) đúng với mọi \(t \in \left[ {\dfrac{3}{4}; + \infty } \right)\) thì \(\dfrac{7}{4} + a\ln \dfrac{3}{4} \ge 0\)

\( \Leftrightarrow a\ln \dfrac{3}{4} \ge - \dfrac{7}{4} \Leftrightarrow a \le \dfrac{{ - \dfrac{7}{4}}}{{\ln \dfrac{3}{4}}}\).

\( \Rightarrow \) Ta lấy giá trị lớn nhất là \(a = \dfrac{{ - \dfrac{7}{4}}}{{\ln \dfrac{3}{4}}} \approx 6,08 \in \left( {6;7} \right]\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.