Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \(a\), mặt bên \(SAB\) là tam giác

Câu hỏi số 614584:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \(a\), mặt bên \(SAB\) là tam giác đều, \(SC = SD = \dfrac{{a\sqrt {14} }}{2}\). Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) bằng

A. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\).

B. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).

C. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\).

D. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:614584

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính diện tích tam giác \(S = \dfrac{1}{2}a.{h_a} = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \).

Giải chi tiết

Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD.

Dựng SH vuông góc EF tại H.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}SE \bot AB\\HE \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SEH} \right) \Rightarrow AB \bot SH\).

Mà \(EF \bot SH\,\, \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

\(SAB\) là tam giác đều cạnh \(a \Rightarrow SE = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

\(\Delta SCD\) cân tại \(S:\,\,SC = SD = \dfrac{{a\sqrt {14} }}{2}\)

\( \Rightarrow SF = \sqrt {S{C^2} - C{F^2}} = \sqrt {\dfrac{{14{a^2}}}{4} - \dfrac{{{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt {13} }}{2}\).

\(\Delta SEF\) có nửa chu vi: \(p = \dfrac{{SE + SF + EF}}{2} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} + \dfrac{{a\sqrt {13} }}{2} + a}}{2} = \dfrac{{\sqrt 3 + \sqrt {13} + 2}}{4}a\).

Diện tích \(\Delta SEF\) là: \({S_{SEF}} = \dfrac{1}{2}SH.EF = \sqrt {p.\left( {p - SE} \right)\left( {p - SF} \right)\left( {p - EF} \right)} \)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{2}SH.a = \sqrt {\dfrac{{\sqrt 3 + \sqrt {13} + 2}}{4}a.\left( {\dfrac{{\sqrt 3 + \sqrt {13} + 2}}{4}a - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}a} \right)\left( {\dfrac{{\sqrt 3 + \sqrt {13} + 2}}{4}a - \dfrac{{\sqrt {13} }}{2}a} \right)\left( {\dfrac{{\sqrt 3 + \sqrt {13} + 2}}{4}a - a} \right)} \).

\( \Rightarrow \dfrac{1}{2}SH.a = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{8} \Rightarrow SH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\).

Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) bằng: \(\dfrac{1}{3}{S_{ABCD}}.SH = \dfrac{1}{3}.{a^2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4} = \)\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.