Cho \(a,b,c\) là các số thực dương thỏa mãn \({a^2} + 4{b^2} + c = 6ab\). Tìm giá trị nhỏ nhất

Câu hỏi số 615360:

Vận dụng cao

Cho \(a,b,c\) là các số thực dương thỏa mãn \({a^2} + 4{b^2} + c = 6ab\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{a}{{2b + c}} + \dfrac{{2b}}{{a + c}} + \dfrac{{{a^3} + 8{b^3}}}{{16c}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:615360

Giải chi tiết

Ta có: \(P = \dfrac{a}{{2b + c}} + \dfrac{{2b}}{{a + c}} + \dfrac{{{a^3} + 8{b^3}}}{{16c}}\)

\( \Leftrightarrow P = \dfrac{a}{{2b + c}} + 1 + \dfrac{{2b}}{{a + c}} + 1 + \dfrac{{{a^3} + 8{b^3}}}{{16c}} - 2\)

\( \Leftrightarrow P = \left( {a + 2b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{{2b + c}} + \dfrac{1}{{a + c}}} \right) + \dfrac{{{a^3} + 8{b^3}}}{{16c}} - 2\)

Ta có: \({(x - y)^2} \ge 0\) nên \({x^2} + {y^2} \ge 2xy\)

\( \Rightarrow {(x + y)^2} \ge 4xy \Rightarrow \dfrac{{x + y}}{{xy}} \ge \dfrac{4}{{x + y}}{\rm{\;}}\) với \(x;y > 0\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}}\)

Lai có: \({x^2} + {y^2} - xy \ge xy\) nên \(\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} + {y^2} - xy} \right) \ge xy\left( {x + y} \right) \Rightarrow {x^3} + {y^3} \ge xy\left( {x + y} \right)\)

\( \Rightarrow P \ge \left( {a + 2b + c} \right)\dfrac{4}{{2b + c + a + c}} + \dfrac{{a \cdot 2b\left( {a + 2b} \right)}}{{16c}} - 2\)

\( \Leftrightarrow P \ge \dfrac{{2\left( {a + 2b} \right)}}{{a + 2b + 2c}} + \dfrac{{2ab\left( {a + 2b} \right)}}{{16c}}\)

Mặc khác: \({a^2} + 4{b^2} + c = 6ab\) nên \({(a - 2b)^2} + c = 2ab\)

\( \Rightarrow c \le 2ab \Leftrightarrow 4a.2b = 4c \Rightarrow c \le \dfrac{{{{(a + 2b)}^2}}}{4}\)

Đặt \(t = a + 2b\), ta có:

\(P \ge \dfrac{{2t}}{{\dfrac{{{t^2}}}{2} + t}} + \dfrac{{2t}}{{16}} = \dfrac{4}{{t + 2}} + \dfrac{t}{{16}} = \dfrac{4}{{t + 2}} + \dfrac{{t + 2}}{{16}} - \dfrac{2}{{16}}\)

\( \Rightarrow P \ge 2\sqrt {\dfrac{4}{{t + 2}} \cdot \dfrac{t}{{16}}} - \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8}\)

\({P_{{\rm{min}}}} = \dfrac{7}{8}khi\dfrac{4}{{t + 2}} = \dfrac{{t + 2}}{{16}} \Leftrightarrow t = 6\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + 2b = 6}\\{a = 2b}\\{c = 2ab}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 3}\\{b = \dfrac{3}{2}}\\{c = 9}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy GTNN của \(P = \dfrac{7}{8}k\) khi \(a = 3,b = \dfrac{3}{2},c = 9\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link