Cho \(a,b,c\) là các số thực dương thỏa mãn \({a^2} + 4{b^2} + c = 6ab\). Tìm giá trị nhỏ nhất

Câu hỏi số 615360:

Vận dụng cao

Cho \(a,b,c\) là các số thực dương thỏa mãn \({a^2} + 4{b^2} + c = 6ab\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{a}{{2b + c}} + \dfrac{{2b}}{{a + c}} + \dfrac{{{a^3} + 8{b^3}}}{{16c}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:615360

Giải chi tiết

Ta có: \(P = \dfrac{a}{{2b + c}} + \dfrac{{2b}}{{a + c}} + \dfrac{{{a^3} + 8{b^3}}}{{16c}}\)

\( \Leftrightarrow P = \dfrac{a}{{2b + c}} + 1 + \dfrac{{2b}}{{a + c}} + 1 + \dfrac{{{a^3} + 8{b^3}}}{{16c}} - 2\)

\( \Leftrightarrow P = \left( {a + 2b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{{2b + c}} + \dfrac{1}{{a + c}}} \right) + \dfrac{{{a^3} + 8{b^3}}}{{16c}} - 2\)

Ta có: \({(x - y)^2} \ge 0\) nên \({x^2} + {y^2} \ge 2xy\)

\( \Rightarrow {(x + y)^2} \ge 4xy \Rightarrow \dfrac{{x + y}}{{xy}} \ge \dfrac{4}{{x + y}}{\rm{\;}}\) với \(x;y > 0\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}}\)

Lai có: \({x^2} + {y^2} - xy \ge xy\) nên \(\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} + {y^2} - xy} \right) \ge xy\left( {x + y} \right) \Rightarrow {x^3} + {y^3} \ge xy\left( {x + y} \right)\)

\( \Rightarrow P \ge \left( {a + 2b + c} \right)\dfrac{4}{{2b + c + a + c}} + \dfrac{{a \cdot 2b\left( {a + 2b} \right)}}{{16c}} - 2\)

\( \Leftrightarrow P \ge \dfrac{{2\left( {a + 2b} \right)}}{{a + 2b + 2c}} + \dfrac{{2ab\left( {a + 2b} \right)}}{{16c}}\)

Mặc khác: \({a^2} + 4{b^2} + c = 6ab\) nên \({(a - 2b)^2} + c = 2ab\)

\( \Rightarrow c \le 2ab \Leftrightarrow 4a.2b = 4c \Rightarrow c \le \dfrac{{{{(a + 2b)}^2}}}{4}\)

Đặt \(t = a + 2b\), ta có:

\(P \ge \dfrac{{2t}}{{\dfrac{{{t^2}}}{2} + t}} + \dfrac{{2t}}{{16}} = \dfrac{4}{{t + 2}} + \dfrac{t}{{16}} = \dfrac{4}{{t + 2}} + \dfrac{{t + 2}}{{16}} - \dfrac{2}{{16}}\)

\( \Rightarrow P \ge 2\sqrt {\dfrac{4}{{t + 2}} \cdot \dfrac{t}{{16}}} - \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8}\)

\({P_{{\rm{min}}}} = \dfrac{7}{8}khi\dfrac{4}{{t + 2}} = \dfrac{{t + 2}}{{16}} \Leftrightarrow t = 6\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + 2b = 6}\\{a = 2b}\\{c = 2ab}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 3}\\{b = \dfrac{3}{2}}\\{c = 9}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy GTNN của \(P = \dfrac{7}{8}k\) khi \(a = 3,b = \dfrac{3}{2},c = 9\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link