Tìm hệ số của x5 trong khai triển \({\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} - \dfrac{1}{x}} \right)^n}\) biết n là số

Câu hỏi số 615568:

Vận dụng

Tìm hệ số của x⁵ trong khai triển \({\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} - \dfrac{1}{x}} \right)^n}\) biết n là số dương thoả mãn \(5C_n^{n - 1} - C_n^3 = 0.\)

A. \( - \dfrac{{35}}{2}\).

B. \(\dfrac{{35}}{{16}}\).

C. \( - \dfrac{{35}}{{16}}\).

D. \(\dfrac{{35}}{2}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:615568

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tổ hợp: \(C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\), giải phương trình tìm n.

Khai triển nhị thức Newton: \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}} \).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}5C_n^{n - 1} - C_n^3 = 0\,\,\left( {n \in \mathbb{N},\,\,n \ge 3} \right)\\ \Leftrightarrow 5n - \dfrac{{n!}}{{3!\left( {n - 3} \right)!}} = 0\\ \Leftrightarrow 5n - \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{6} = 0\\ \Leftrightarrow 30 - \left( {{n^2} - 3n + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {n^2} - 3n - 28 = 0 \Leftrightarrow n = 7\end{array}\)

Khi đó ta có:

\({\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} - \dfrac{1}{x}} \right)^7} = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k{{\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2}} \right)}^{7 - k}}{{\left( { - \dfrac{1}{x}} \right)}^k}} = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k{2^{k - 7}}.{{\left( { - 1} \right)}^k}.{x^{14 - 3k}}} \).

Hệ số của số hạng chứa \({x^5}\) ứng với \(14 - 3k = 5 \Leftrightarrow 3k = 9 \Leftrightarrow k = 3\,\,\left( {tm} \right)\).

Vậy hệ số của \({x^5}\) trong khai triển trên là \(C_7^3{2^{ - 4}}.{\left( { - 1} \right)^3} = - \dfrac{{35}}{{16}}.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.