a) Xác định các hệ số \(a,b,c\) của đa thức \(P\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\). Biết

Câu hỏi số 615794:

Vận dụng

a) Xác định các hệ số \(a,b,c\) của đa thức \(P\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\). Biết \(P\left( { - 2} \right) = - 29\), \(P\left( 1 \right) = - 5\) và \(P\left( 3 \right) = 1\).

b) Cho \(n\) là số nguyên dương sao cho \(4n + 13\) và \(5n + 16\) là các số chính phương. Chứng minh rằng \(2023n + 45\) chia hết cho 24 .

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:615794

Giải chi tiết

a) Xác định các hệ số \(a,b,c\) của đa thức \(P\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\). Biết \(P\left( { - 2} \right) = - 29,P\left( 1 \right) = - 5\) và \(P\left( 3 \right) = 1\).

b) Cho \(n\) là số nguyên dương sao cho \(4n + 13\) và \(5n + 16\) là các số chính phương. Chứng minh rằng \(2023n + 45\) chia hết cho 24 .

giải:

a) Vì \(P\left( { - 2} \right) = - 29\) nên ta có \( - 8 + 4a - 2b + c = - 29 \Leftrightarrow 4a - 2b + c = - 21\)

Vì \(P\left( 1 \right) = 5\) nên ta có \(1 + a + b + c = - 5 \Leftrightarrow a + b + c = - 6\)

Vì \(P\left( 3 \right) = 1\) nên \(27 + 9a + 3b + c = 1 \Leftrightarrow 9a + 3b + c = - 26\)

Ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}4a - 2b + c = - 21\\a + b + c = - 6\\9a + 3b + c = - 26\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a - 3b = - 15\\8a + 2b = - 20\\a + b + c = - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 3\\b = 2\\c = - 5\end{array} \right.\)

Vậy \(a = - 3,b = 2,c = - 5\)

b) Giả sử \(4n + 13 = {a^2}\) và \(5n + 16 = {b^2}\) với \(\left( {a,b \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)

Do \(4n + 13 = {a^2} \Rightarrow {a^2}\) là số lẻ

Ta có \(4n + 13 = {a^2} \Rightarrow 4\left( {n + 3} \right) = {a^2} - 1 \Leftrightarrow 4\left( {n + 3} \right) = \left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)\)

Vì a là số lẻ nên \(a - 1\) và \(a + 1\) là 2 số chẵn liên tiếp, do đó \(\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right) \vdots 8 \Rightarrow \left( {n + 3} \right) \vdots 2\)

Suy ra n là số lẻ

Khi đó \({b^2} = 5n + 16\) cũng là số lẻ.

Lại có \(5n + 16 = {b^2} \Leftrightarrow 5\left( {n + 3} \right) = \left( {b - 1} \right)\left( {b + 1} \right) \vdots 8\).

Mà \(\left( {5;8} \right) = 1 \Rightarrow \left( {n + 3} \right) \vdots 8\left( 1 \right)\)

Ta có \({a^2} + {b^2} = 9n + 29 \equiv 2\left( {{\rm{mod}}3} \right)\)

mà \({a^2} \equiv \left\{ {0;1} \right\}\left( {{\rm{mod}}3} \right);{b^2} \equiv \left\{ {0;1} \right\}\left( {{\rm{mod}}3} \right) \Rightarrow {a^2} \equiv {b^2} \equiv 1\left( {{\rm{mod}}3} \right)\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4n + 13 \equiv 1\left( {{\rm{mod}}3} \right)}\\{5n + 16 \equiv 1\left( {{\rm{mod}}3} \right)}\end{array} \Rightarrow \left( {n + 3} \right) \equiv 0\left( {{\rm{mod}}3} \right){\rm{\;}}\left( 2 \right)} \right.\)

Vì \(\left( {3;8} \right) = 1\) nên từ (1) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(\left( {n + 3} \right) \vdots 24\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link