a) Giải phương trình: \(2\left( {17{x^2} - 6} \right) + \left( {{x^2} - 4x + 3} \right)\sqrt {2x + 5} =

Câu hỏi số 615795:

Vận dụng cao

a) Giải phương trình: \(2\left( {17{x^2} - 6} \right) + \left( {{x^2} - 4x + 3} \right)\sqrt {2x + 5} = 2x\left( {3{x^2} + 22} \right)\).

b) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho điểm \(A\left( {146;2022} \right)\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên trục \(Ox\). Tìm số điểm nguyên nằm trong tam giác \(OAH\). (Điểm nguyên là điểm có hoành độ và tung độ là các số nguyên).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:615795

Giải chi tiết

c) Giải phương trình: \(2\left( {17{x^2} - 6} \right) + \left( {{x^2} - 4x + 3} \right)\sqrt {2x + 5} = 2x\left( {3{x^2} + 22} \right)\).

d) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho điểm \(A\left( {146;2022} \right)\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên trục \(Ox\). Tìm số điểm nguyên nằm trong tam giác \(OAH\). (Điểm nguyên là điểm có hoành độ và tung độ là các số nguyên).

Giải Câu 3:
a) \(2\left( {17{x^2} - 6} \right) + \left( {{x^2} - 4x + 3} \right)\sqrt {2x + 5} = 2x\left( {3{x^2} + 22} \right)\left( 1 \right)\)

Điều kiện \(2x + 5 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge - \dfrac{5}{2}\).

Phương trình \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow 6{x^3} - 34{x^2} + 44x + 12 - \left( {{x^2} - 4x + 3} \right)\sqrt {2x + 5} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {6{x^2} - 16x - 4} \right) - \left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)\sqrt {2x + 5} = 0\)

\(\begin{array}{l}{\rm{\;}} \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left[ {6{x^2} - 16x - 4 - \left( {x - 1} \right)\sqrt {2x + 5} } \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\6{x^2} - 16x - 4 - \left( {x - 1} \right)\sqrt {2x + 5} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Phương trình\({\rm{\;\;}}\left( 2 \right) \Leftrightarrow 6{(x - 1)^2} - 2\left( {2x + 5} \right) - \left( {x - 1} \right)\sqrt {2x + 5} = 0\,\,\,\left( 3 \right)\)

Với \(x = 1\) phương trình \(\left( 3 \right) \Leftrightarrow - 2.7 = 0\) (không thỏa mãn)

Với \(x \ne 1\) chia cả 2 vế của (3) cho \({\left( {x - 1} \right)^2}\) ta được phương trình

\(6 - 2.\dfrac{{2x + 5}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} - \dfrac{{\sqrt {2x + 5} }}{{\left( {x - 1} \right)}} = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2.\dfrac{{2x + 5}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} + \dfrac{{\sqrt {2x + 5} }}{{\left( {x - 1} \right)}} - 6 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {2x + 5} }}{{x - 1}} = \dfrac{3}{2}\\\dfrac{{\sqrt {2x + 5} }}{{x - 1}} = - 2\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(\dfrac{{\sqrt {2x + 5} }}{{x - 1}} = \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow 2\sqrt {2x + 5} = 3\left( {x - 1} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\4\left( {2x + 5} \right) = 9\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\8x + 20 = 9{x^2} - 18x + 9\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\9{x^2} - 26x - 11 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x = \dfrac{{13 \pm 2\sqrt {67} }}{9}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{{13 + 2\sqrt {67} }}{9}\end{array}\)

Với \(\begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {2x + 5} }}{{x - 1}} = - 2 \Leftrightarrow \sqrt {2x + 5} = - 2\left( {x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 \le 0\\2x + 5 = 4\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 \le 0\\4{x^2} - 10x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{{5 - \sqrt {29} }}{4}\end{array}\)

Đối chiếu điều kiện xác định ta được \(S = \left\{ {3,\dfrac{{13 + 2\sqrt {67} }}{9},\dfrac{{5 - \sqrt {29} }}{4}} \right\}\)

Vì H là hình chiếu vuông góc của A trên trục Ox nên H(146;0).

Gọi B là hình chiếu vuông góc của A trên trục Oy, suy ra B(0;2022).

Gọi C là trung điểm của đoạn OA, suy ra C(73;2011).

Điểm \(M\left( {{x_0},{y_0}} \right)\,\left( {{x_0},{y_0} \in \mathbb{Z}} \right)\) là điểm nguyên nằm trong \(\Delta OAH\) khi và chi khi điểm \(M'\left( {{{x'}_0},{{y'}_0}} \right)\,\left( {{{x'}_0},{{y'}_0} \in \mathbb{Z}} \right)\)đối xứng với điểm M qua C nằm trong \(\Delta OAB\)

Suy ra sổ điểm nguyên nằm trong \(\Delta OAH\) bằng số điểm nguyên nằm trong \(\Delta OAB\).

Do đó số điểm nguyên nằm trong \(\Delta OAH\) bằng \(\dfrac{1}{2}\) (số điểm nguyên nằm trong hình chữ

nhật ABOH trừ đi số điểm nguyên nằm trên đoạn thẳng OA).

Số điểm nguyên nằm trong hình chữ nhật ABOH bằng 145.2021=293045.

Phương trình đường thẳng OA là \(y = \dfrac{{1011}}{{73}}x\)

Từ đó kiểm tra được số điểm nguyên trên đoạn thẳng \(OA\) (trừ điểm \(O\) và \(A\) ) bằng 1.

Vậy số điểm nguyên trong \(\Delta OAH\) bằng \(\dfrac{{293045 - 1}}{2} = 146522\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link