Cho hai đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và \(\left( {O';R'} \right)\) cắt nhau tại hai điểm \(A\) và

Câu hỏi số 615796:

Vận dụng cao

Cho hai đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và \(\left( {O';R'} \right)\) cắt nhau tại hai điểm \(A\) và \(B\left( {R > R'} \right.\) và \(O,O'\) thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ \(\left. {AB} \right)\). Đường thẳng \(AO\) cắt \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\) lần lượt tại \(C\) và \(M\), đường thẳng \(AO'\) cắt \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\) lần lượt tại \(N\) và \(D(C,D,M,N\) khác \(A)\). Gọi \(K\) là trung điểm của \(CD;H\) là giao điểm của \(CN\) và \(DM\).

a) Chứng minh rằng năm điểm \(M,N,O,K,B\) cùng thuộc một đường tròn.

b) Gọi \(\left( I \right)\) là đường tròn ngoại tiếp tam giác \(HCD;E\) là điểm đối xứng của \(C\) qua \(B;P\) là giao điểm của \(AE\) và \(HD;F\) là giao điểm của \(BH\) với \(\left( I \right)(F\) khác \(H);Q\) là giao điểm của \(CF\) với \(BP\). Chứng minh rằng \(BP = BQ\).

c) Chứng minh rằng \(\angle {IBP} = {90^ \circ }\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:615796

Giải chi tiết

a) Ta có \(\angle ANC = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right)\)\( \Rightarrow AD \bot CH\)

Ta có \(\angle CMD = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( {O'} \right)\)\( \Rightarrow AC \bot DH\)

Suy ra A là trực tâm tam giác \(HCD \Rightarrow HA \bot CD \Rightarrow H,A,B\) thẳng hàng.

Dễ có tứ giác \(CDMN\) nội tiếp đường tròn tâm \(K \Rightarrow \angle KMN = 2\angle MCN\) (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn ) và \(\angle {HCM} = \angle {HDN}\left( 1 \right)\).

Ta có tứ giác \(ABCN\) nội tiếp \( \Rightarrow \angle {ACN} = \angle {ABN}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung ).

Tứ giác \(ABDM\) nội tiếp \( \Rightarrow \angle {ADM} = \angle {ABM}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung ).

Kết hợp với (1) suy ra \(\angle {ABN} = \angle {ABM} = \angle {ACN} \Rightarrow \angle {MKN} = \angle {MBN} = 2\angle {ACN}\)

Ta có \(\angle {MON} = 2\angle {ACN} = \angle {MBN}\)

Từ (2) và \(\left( 3 \right)\) suy ra 5 điểm \(M,N,O,K,B\) cùng thuộc một đường tròn.

Xét tứ giác \(ACFE\) có hai đường chéo \(CE \bot AF\) tại trung điểm \(B\) của \(CE\)

Ta có \(\angle {DCM} = \angle {BHD}\) (cùng phụ với \(\angle {CDH}\) ). Mà \(\angle {BHD} = \angle {DCF}\) (góc nội tiếp cùng chắn ) \( \Rightarrow \angle {DCM} = \angle {DCF}\)

Từ (1) và (2) suy ra \(ACFE\) là hình thoi.

Xét hai và có \(\angle {BEP} = \angle {BCQ}\) (so le trong), \(BE = BC,\angle {EBP} = \angle {CBQ}\) (đối đỉnh). Suy ra (đpcm).

c) Chứng minh rằng \(\angle {IBP} = {90^ \circ }\).

Gọi \(S,T\) là giao điểm của \(BQ\) và \(\left( I \right)\) (nhu hình vẽ).

Xét tứ giác ADEH có \(\angle {AED} = \angle {AHD}{\rm{\;}}\) (cùng chắn )

Suy ra ADEH nội tiếp

\( \Rightarrow PD.PH = PA.PE = PT.PS\)

Từ \(\Delta BPE = {\rm{\Delta }}BQC \Rightarrow PE = QC \Rightarrow PA = QF \Rightarrow PA.E = QF.QC = QS.QT\)

\( \Leftrightarrow QS \cdot PQ + QS \cdot PT = PT \cdot PQ + PT \cdot QS \Leftrightarrow QS \cdot PQ = PT \cdot PQ \Leftrightarrow QS = PT\)

\( \Rightarrow B\) là trung điểm của ST

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link