a) Cho \(A = 2\left( {{1^{2023}} + {2^{2023}} + \ldots + {{2022}^{2023}}} \right)\). Chứng minh rằng

Câu hỏi số 616029:

Vận dụng cao

a) Cho \(A = 2\left( {{1^{2023}} + {2^{2023}} + \ldots + {{2022}^{2023}}} \right)\). Chứng minh rằng \(A\) chia hết cho 2022 .

b) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình \(2{x^2} + 5{y^2} + 4x = 21\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:616029

Giải chi tiết

a) Với hai số nguyên dương a, b bất kì ta có \({a^{2023}} + {b^{2023}} \vdots \left( {a + b} \right)\)

Ta có \(2\left[ {{1^{2023}} + {{2021}^{2023}}} \right] \vdots 2022\)

\(2\left[ {{2^{2023}} + {{2020}^{2023}}} \right] \vdots 2022\)

…

\(2\left[ {{{1010}^{2023}} + {{1012}^{2023}}} \right] \vdots 2022\)

Mà \({2.1011^{2023}} \vdots 2022;\,\,\,{2022^{2023}} \vdots 2022\)

Suy ra \(2\left( {{1^{2023}} + {2^{2023}} + ... + {{2022}^{2023}}} \right) \vdots 2022\)

b) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình \(2{x^2} + 5{y^2} + 4x = 21\)

Ta có \(2{x^2} + 5{y^2} + 4x = 21 \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) = 23 - 5{y^2}\)

Do \({\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0\,\,\forall x \Rightarrow 23 - 5{y^2} \ge 0 \Leftrightarrow {y^2} \le \dfrac{{23}}{5}\)

Do \(y \in \mathbb{Z} \Rightarrow {y^2} \in \left\{ {0,1,4} \right\}\)

Với \({y^2} = 0 \Rightarrow \)phương trình \(2{x^2} + 4x = 21 \Leftrightarrow 2{x^2} + 4x - 21 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{{ - 2 \pm \sqrt {46} }}{2}\) (loại)

Với \({y^2} = 1 \Rightarrow \)phương trình \(2{x^2} + 5 + 4x = 21 \Leftrightarrow 2{x^2} + 4x - 16 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 4\end{array} \right.\) (thỏa mãn)

Với \({y^2} = 4 \Rightarrow \)phương trình \(2{x^2} + 5.4 + 4x = 21 \Leftrightarrow 2{x^2} + 4x - 1 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{{ - 2 \pm \sqrt 6 }}{2}\) (loại)

Vậy phương trình có các nghiệm nguyên \(\left( {2,1} \right);\left( { - 4,1} \right);\left( {2, - 1} \right);\left( { - 4, - 1} \right)\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link