a) Cho \(A = 2\left( {{1^{2023}} + {2^{2023}} + \ldots + {{2022}^{2023}}} \right)\). Chứng minh rằng

Câu hỏi số 616029:

Vận dụng cao

a) Cho \(A = 2\left( {{1^{2023}} + {2^{2023}} + \ldots + {{2022}^{2023}}} \right)\). Chứng minh rằng \(A\) chia hết cho 2022 .

b) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình \(2{x^2} + 5{y^2} + 4x = 21\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:616029

Giải chi tiết

a) Với hai số nguyên dương a, b bất kì ta có \({a^{2023}} + {b^{2023}} \vdots \left( {a + b} \right)\)

Ta có \(2\left[ {{1^{2023}} + {{2021}^{2023}}} \right] \vdots 2022\)

\(2\left[ {{2^{2023}} + {{2020}^{2023}}} \right] \vdots 2022\)

…

\(2\left[ {{{1010}^{2023}} + {{1012}^{2023}}} \right] \vdots 2022\)

Mà \({2.1011^{2023}} \vdots 2022;\,\,\,{2022^{2023}} \vdots 2022\)

Suy ra \(2\left( {{1^{2023}} + {2^{2023}} + ... + {{2022}^{2023}}} \right) \vdots 2022\)

b) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình \(2{x^2} + 5{y^2} + 4x = 21\)

Ta có \(2{x^2} + 5{y^2} + 4x = 21 \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) = 23 - 5{y^2}\)

Do \({\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0\,\,\forall x \Rightarrow 23 - 5{y^2} \ge 0 \Leftrightarrow {y^2} \le \dfrac{{23}}{5}\)

Do \(y \in \mathbb{Z} \Rightarrow {y^2} \in \left\{ {0,1,4} \right\}\)

Với \({y^2} = 0 \Rightarrow \)phương trình \(2{x^2} + 4x = 21 \Leftrightarrow 2{x^2} + 4x - 21 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{{ - 2 \pm \sqrt {46} }}{2}\) (loại)

Với \({y^2} = 1 \Rightarrow \)phương trình \(2{x^2} + 5 + 4x = 21 \Leftrightarrow 2{x^2} + 4x - 16 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 4\end{array} \right.\) (thỏa mãn)

Với \({y^2} = 4 \Rightarrow \)phương trình \(2{x^2} + 5.4 + 4x = 21 \Leftrightarrow 2{x^2} + 4x - 1 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{{ - 2 \pm \sqrt 6 }}{2}\) (loại)

Vậy phương trình có các nghiệm nguyên \(\left( {2,1} \right);\left( { - 4,1} \right);\left( {2, - 1} \right);\left( { - 4, - 1} \right)\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link