Cho tam giác \(ABC\) vuông ở \(B\) có \(BD\) là đường cao \(\left( {D \in AC} \right)\). \(M\) là điểm

Câu hỏi số 617028:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) vuông ở \(B\) có \(BD\) là đường cao \(\left( {D \in AC} \right)\). \(M\) là điểm thuộc đường trung trực \({\rm{\Delta }}\) của đoạn thẳng \(CD\). Đường tròn đường kính \(MA\) cắt đường tròn tâm \(A\) bán kính \(AB\) tại \(E\) và \(F\).

a) Chứng minh \(A{E^2} = AD \cdot AC\).

b) Chứng minh \(MC = ME\).

c) Khi \(M\) di động trên \({\rm{\Delta }}\), chứng minh \(EF\) luôn đi qua một điểm cố định.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:617028

Phương pháp giải

a) Dùng hệ thức lượng trong tam giác vuông

b) Phân tích \(A{M^2} = A{G^2} + G{M^2} = {\left( {AD + DG} \right)^2} + G{M^2} = M{D^2} + AD.AC\)

c) Gọi I là giao điểm của EF và AC, gọi G là trung điểm DC

Chứng minh \(\Delta AEI \sim \Delta AGE\left( {g.g} \right)\) suy ra I cố định.

Giải chi tiết

a) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại B, đường cao BD nên ta có \(A{B^2} = AD.AC\) (hệ thức lượng)

Mà \(AB = AE\) (do cùng bằng bán kính đường tròn tâm A)

\( \Rightarrow A{E^2} = AD.AC\)

b) Do E thuộc đường tròn đường kính AM nên \(\Delta AEM\) vuông tại E

\( \Rightarrow A{M^2} = A{E^2} + E{M^2} = AD.AC + M{E^2}\) (1)

Tương tự \(\Delta AGM\) vuông tại G nên

\(\begin{array}{l}A{M^2} = A{G^2} + G{M^2} = {\left( {AD + DG} \right)^2} + G{M^2}\\ = A{D^2} + \left( {D{G^2} + G{M^2}} \right) + 2AD.DG\\ = A{D^2} + M{D^2} + 2AD.DG\\ = M{D^2} + AD\left( {AD + 2DG} \right)\\ = M{D^2} + AD.\left( {AD + DC} \right)\\ = M{D^2} + AD.AC & & & \left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1) và (2) suy ra \(M{E^2} = M{D^2} \Leftrightarrow ME = MD\)

c) Do \(ME = MF\) nên suy ra \(ME = MC = MD = MF\)

\( \Rightarrow C,E,D,F\) cung thuộc đường tròn tâm M

Hay \(CEDF\) nội tiếp

Gọi I là giao điểm của EF và AC, gọi G là trung điểm DC

Do \(\left\{ \begin{array}{l}AE = AF\\ME = MF\end{array} \right. \Rightarrow AM\) là trung trực của EF

\( \Rightarrow AM\) là phân giác của

Xét đường tròn đường kính AM có

\( \Rightarrow \Delta AEI \sim \Delta AGE\left( {g.g} \right)\) (Do \(\angle EAG\) chung và \(\angle EIA = \angle AEG\))

\( \Rightarrow \dfrac{{IA}}{{AE}} = \dfrac{{AE}}{{AG}} \Rightarrow IA = \dfrac{{A{E^2}}}{{AG}} = \dfrac{{AD.AC}}{{AG}}\)

Do \(AD,AC,AG\) không đổi nên \(AI\) không đổi

\( \Rightarrow I\) cố định

Chứng tỏ EF luôn qua I cố định

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link