Tìm tất cả các giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để phương trình \({x^2} - \left( {m + 3}

Câu hỏi số 617063:

Vận dụng

Tìm tất cả các giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để phương trình \({x^2} - \left( {m + 3} \right)x + m + 1 = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) phân biệt, khác không thoả mãn giá trị của biểu thức \(A = {\left( {\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}}} \right)^2}\) là một số nguyên.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:617063

Phương pháp giải

Áp dụng Viet thay vào A

Giải chi tiết

Ta có: \({\rm{\Delta }} = {(m + 3)^2} - 4\left( {m + 1} \right) = {m^2} + 2m + 5 = {(m + 1)^2} + 4\).

\( \Rightarrow {\rm{\Delta }} > 0,\forall m \in \mathbb{R}\)

Phương trình có nghiệm \(x = 0 \Leftrightarrow {0^2} - \left( {m + 3} \right).0 + m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = - 1\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) phân biệt, khác không khi và chỉ khi \(m \ne - 1\).

Áp dụng định lý Viet ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = m + 3}\\{{x_1}{x_2} = m + 1}\end{array}} \right.\). \(A = {\left( {\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}}} \right)^2} - 2 = {\left[ {\dfrac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}} \right]^2} - 2\)

\( = {\left( {\dfrac{{{m^2} + 4m + 7}}{{m + 1}}} \right)^2} - 2 = {\left( {m + 3 + \dfrac{4}{{m + 1}}} \right)^2} - 2\).

Với m nguyên dương, A nguyên \( \Leftrightarrow 4 \vdots \left( {m + 1} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 1 = 1\\m + 1 = 2\\m + 1 = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\left( L \right)\\m = 1\left( {TM} \right)\\m = 3\left( {TM} \right)\end{array} \right.\)

Vậy \(m = 1,m = 3\) thoả mãn yêu cầu bài toán.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link