Cho đa thức \(P\left( x \right)\) có tất cả các hệ số là các số nguyên. Biết rằng \(a,b,c\) là

Câu hỏi số 617064:

Vận dụng cao

Cho đa thức \(P\left( x \right)\) có tất cả các hệ số là các số nguyên. Biết rằng \(a,b,c\) là ba số nguyên phân biệt thỏa mãn \(P\left( a \right) = P\left( b \right) = P\left( c \right) = 2022\). Hỏi phương trình \(P\left( x \right) - 2023 = 0\) có nghiệm nguyên không? Vì sao?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:617064

Giải chi tiết

Ta có \(P\left( a \right) = P\left( b \right) = P\left( c \right) = 2022 \Leftrightarrow P\left( a \right) - 2022 = P\left( b \right) - 2022 = P\left( c \right) - 2022 = 0\)

Khi đó: \(a,b,c\) là 3 nghiệm phân biệt của đa thức \(P\left( x \right) - 2022\).

Do đó, tồn tại đa thức \(Q\left( x \right)\) có các hệ số là các số nguyên sao cho:

\(P\left( x \right) - 2022 = \left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right)\left( {x - c} \right)Q\left( x \right)\).

Giả sử, phương trình \(P\left( x \right) - 2023 = 0\) có nghiệm nguyên \(x = d\).

Khi đó, \(P\left( d \right) - 2023 = 0 \Leftrightarrow P\left( d \right) - 2022 = 1\).

Ta lại có, \(P\left( d \right) - 2022 = \left( {d - a} \right)\left( {d - b} \right)\left( {d - c} \right)Q\left( d \right)\).

Vậy \(\left( {d - a} \right)\left( {d - b} \right)\left( {d - c} \right)Q\left( d \right) = 1 = 1.1 = \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 1} \right)\). (1)

\(d - a,d - b,d - c\) là 3 số nguyên phân biệt. \(Q\left( d \right)\) là số nguyên.

Do đó, từ (1) suy ra \(d - a \in \left\{ { - 1;1} \right\};d - b \in \left\{ { - 1;1} \right\};d - c \in \left\{ { - 1;1} \right\}\).

Theo nguyên lý Đi - rich - lê thì có ít nhất 2 trong ba số \(d - a,d - b,d - c\) bằng nhau.

Điều này mâu thuẫn với \(d - a,d - b,d - c\) là 3 số nguyên phân biệt.

Vậy điều giả sử là sai.

Tóm lại: Phương trình \(P\left( x \right) - 2023 = 0\) không có nghiệm nguyên.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link