Cho đa thức \(P\left( x \right)\) có tất cả các hệ số là các số nguyên. Biết rằng \(a,b,c\) là

Câu hỏi số 617064:

Vận dụng cao

Cho đa thức \(P\left( x \right)\) có tất cả các hệ số là các số nguyên. Biết rằng \(a,b,c\) là ba số nguyên phân biệt thỏa mãn \(P\left( a \right) = P\left( b \right) = P\left( c \right) = 2022\). Hỏi phương trình \(P\left( x \right) - 2023 = 0\) có nghiệm nguyên không? Vì sao?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:617064

Giải chi tiết

Ta có \(P\left( a \right) = P\left( b \right) = P\left( c \right) = 2022 \Leftrightarrow P\left( a \right) - 2022 = P\left( b \right) - 2022 = P\left( c \right) - 2022 = 0\)

Khi đó: \(a,b,c\) là 3 nghiệm phân biệt của đa thức \(P\left( x \right) - 2022\).

Do đó, tồn tại đa thức \(Q\left( x \right)\) có các hệ số là các số nguyên sao cho:

\(P\left( x \right) - 2022 = \left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right)\left( {x - c} \right)Q\left( x \right)\).

Giả sử, phương trình \(P\left( x \right) - 2023 = 0\) có nghiệm nguyên \(x = d\).

Khi đó, \(P\left( d \right) - 2023 = 0 \Leftrightarrow P\left( d \right) - 2022 = 1\).

Ta lại có, \(P\left( d \right) - 2022 = \left( {d - a} \right)\left( {d - b} \right)\left( {d - c} \right)Q\left( d \right)\).

Vậy \(\left( {d - a} \right)\left( {d - b} \right)\left( {d - c} \right)Q\left( d \right) = 1 = 1.1 = \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 1} \right)\). (1)

\(d - a,d - b,d - c\) là 3 số nguyên phân biệt. \(Q\left( d \right)\) là số nguyên.

Do đó, từ (1) suy ra \(d - a \in \left\{ { - 1;1} \right\};d - b \in \left\{ { - 1;1} \right\};d - c \in \left\{ { - 1;1} \right\}\).

Theo nguyên lý Đi - rich - lê thì có ít nhất 2 trong ba số \(d - a,d - b,d - c\) bằng nhau.

Điều này mâu thuẫn với \(d - a,d - b,d - c\) là 3 số nguyên phân biệt.

Vậy điều giả sử là sai.

Tóm lại: Phương trình \(P\left( x \right) - 2023 = 0\) không có nghiệm nguyên.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link