Tìm các số nguyên tố \(a,b,c\) sao cho: \({a^4} + {b^4} + {c^4} + 54 = 11abc\).

Câu hỏi số 617065:

Vận dụng cao

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:617065

Giải chi tiết

TH \(1:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a \ne 3}\\{b \ne 3}\\{c \ne 3}\end{array}} \right.\)

Vì \(a,b,c\) là các số nguyên tố nên khi đó

\({a^4} \equiv 1\left( {{\rm{mod}}3} \right),{b^4} \equiv 1\left( {{\rm{mod}}3} \right),{c^4} \equiv 1\left( {{\rm{mod}}3} \right) \Rightarrow {a^4} + {b^4} + {c^4} \equiv 0\left( {{\rm{mod}}3} \right)\).

Ta có: \({a^4} + {b^4} + {c^4} + 54 \equiv 0\left( {{\rm{mod}}3} \right);11abc \equiv 1\left( {{\rm{mod}}3} \right)\) hoặc \(11abc \equiv 2\left( {{\rm{mod}}3} \right)\). Vậy trường hợp này không thoả mãn.

TH 2: Trong 3 số \(a,b,c\) có ít nhất một số bằng 3 . Không mất tính tồng quát, giả sử \(a = 3\).

Ta có: \({3^4} + {b^4} + {c^4} + 54 = 33bc \Leftrightarrow {b^4} + {c^4} + 135 = 33bc\). (*)

Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{33bc \equiv 0\left( {{\rm{mod}}3} \right)}\\{135 \equiv 0\left( {{\rm{mod}}3} \right)}\end{array}} \right.\) nên \({b^4} + {c^4} \equiv 0\left( {{\rm{mod}}3} \right)\). Mặt khác \(b,c\) là các số nguyên tố nên \({b^4} \equiv 0\left( {{\rm{mod}}3} \right)\) hoặc \({b^4} \equiv 1\left( {{\rm{mod}}3} \right);{c^4} \equiv 0\left( {{\rm{mod}}3} \right)\) hoặc \({c^4} \equiv 1\left( {{\rm{mod}}3} \right)\).

Vậy từ \({b^4} + {c^4} \equiv 0\left( {{\rm{mod}}3} \right)\) ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{b^4} \equiv 0\left( {{\rm{mod}}3} \right)}\\{{c^4} \equiv 0\left( {{\rm{mod}}3} \right)}\end{array}} \right.\).

Do \(b,c\) là các số nguyên tố nên \(b = c = 3\).

Thay \(b = c = 3\) vào \(\left( {\rm{*}} \right)\) ta thấy thoả mãn.

Tóm lại \(a = b = c = 3\) là các số nguyên tố thoả mãn yêu cầu bài toán.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link