Cho \(A\) là một tập con của tập số tự nhiên \(\mathbb{N}\). Tập \(A\) có phần tử nhỏ nhất là

Câu hỏi số 617066:

Vận dụng cao

Cho \(A\) là một tập con của tập số tự nhiên \(\mathbb{N}\). Tập \(A\) có phần tử nhỏ nhất là 1 , phần tỉ lón nhất là 100 và mối phần từ \(x\) thuộc \(A\left( {x \ne 1} \right)\) luôn biểu diễn đưược đưới dạng \(x = a + b\) trong đó \(a,b\) thuộc \(A(a\) có thể bằng \(b\) ). Hãy tìm một tập \(A\) có số phần tử nhỏ nhất. Giải thích cách tìm ?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:617066

Giải chi tiết

Giả sử \(A\) có số phần từ là \(n\), ta săp xếp chúng theo thứ tự \(1 = {x_1} < {x_2} < \ldots < {x_n} = 100\). (1)

Suy ra với mỗi \(k \in \left\{ {1;2;3; \ldots ;n - 1} \right\}\) ta có \({x_{k + 1}} = {x_i} + {x_j} \le {x_k} + {x_k} = 2{x_k}\), với \(1 \le i,j \le k \cdot \left( 2 \right)\)

Áp dụng kết quả (2) ta thu được \({x_2} \le 1 + 1 = 2,{x_3} \le 2 + 2 = 4,{x_4} \le 8,{x_5} \le 16,{x_6} \le 32,{x_7} \le 64\).

Suy ra tập \(A\) phải có ít nhất 8 phần tử.

Giả sử \(n = 8 \Rightarrow {x_8} = 100\).

Vì \({x_6} + {x_7} \le 32 + 64 = 96 < 100 \Rightarrow {x_8} = 2{x_7} \Rightarrow {x_7} = 50\).

Vi \({x_5} + {x_6} \le 16 + 32 = 48 < 50 \Rightarrow {x_7} = 2{x_6} \Rightarrow {x_6} = 25\).

Vì \({x_4} + {x_5} \le 8 + 16 = 24 < 25 \Rightarrow {x_6} = 2{x_5} \Rightarrow {x_5} = \dfrac{{25}}{2}\). (mâu thuẫn)

Với \(n = 9\) ta có tập \(A = \left\{ {1;2;3;5;10;20;25;50;100} \right\}\) thoả mãn yêu cầu bài toán.

Vậy tập \(A\) có phần tử nhỏ nhất là 9 .

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link