Cho tam giác \(ABC(AB < AC)\) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) và có trực
Cho tam giác \(ABC(AB < AC)\) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) và có trực tâm \(H\). Gọi \(D,E,F\) lần lượt là chân đường cao kẻ từ \(A,B,C\) của tam giác \(ABC\). Gọi \(I\) là trung điểm cạnh \(BC,P\) là giao điểm của hai đường thẳng \(EF\) và \(BC\). Đường thẳng \(DF\) cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác \(HEF\) tại điểm thứ hai là \(K\).
a) Chứng minh \(PB.PC = PE.PF\) và \(KE\) song song với \(BC\);
b) Đường thẳng \(PH\) cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác \(HEF\) tại điểm thứ hai là \(Q\). Chứng minh tứ giác BIQF nội tiếp.
Quảng cáo
a) Ta có \(\angle {BEC} = \angle {BFC} = {90^ \circ } \Rightarrow \) tứ giác \(BFEC\) nội tiếp
\( \Rightarrow \Delta PFB \sim \Delta PCE\left( {g.g} \right) \Rightarrow PB.PC = PE.PF\)
(1) Các tứ giác \(BFHD,HEKF\) nội tiếp nên
\(\angle {EBC} = \angle {HBD} = \angle {HFD} = \overline {HEK} = \angle {BEK} \Rightarrow KE//BC\).
b) Hai tam giác \(PHE\) và \(PFQ\) có
\(\angle {HPE} = \angle {HPF},\angle {PEH} = \angle {PQF} \Rightarrow \Delta PHE \sim {\rm{\;}}\Delta PFQ\left( {g.g} \right) \Rightarrow PH.PQ = PF.PE\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(PB \cdot PC = PH \cdot PQ\).
Hai tam giác \(PBQ\) và \(PHC\) có
\(\angle {BPQ} = \angle {HPC},\dfrac{{PB}}{{PH}} = \dfrac{{PQ}}{{PC}} \Rightarrow \Delta PBQ \sim \Delta PHC\left( {c.g \cdot c} \right) \Rightarrow \angle {PQB} = \angle {PCH}\)
\( \Rightarrow \) tứ giác \(BHQC\) nội tiếp.
Khi đó \(\angle {FQB} = \angle {FQH} + \angle {HQB} = \angle {FEH} + \angle {HCB} = 2\angle {FCB} = \angle {FIB}\).
Vậy tứ giác \(BIQF\) nội tiếp.
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
