Thầy Hùng viết các số nguyên 1, 2, 3, .., 2021, 2022 lên bảng. Thầy Hùng xóa đi 1010 số bất kì

Câu hỏi số 617195:

Vận dụng cao

Thầy Hùng viết các số nguyên 1, 2, 3, .., 2021, 2022 lên bảng. Thầy Hùng xóa đi 1010 số bất kì trên bảng. Chứng minh rằng trong các số còn lại trên bảng luôn tìm được:

a. 3 số có tổng các bình phương là hợp số.

b. 504 số có tổng các bình phương chia hết cho 4 .

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:617195

Giải chi tiết

a) Trên bảng có tất cả 2022 số nguyên dương đầu tiên. Sau khi xóa đi 1010 số trên bảng, tồn tại ít nhất 1 số chẵn còn lại trên bảng luôn tạo với 2 số lẻ tổng các bình phương chẵn nên chúng là hợp số.

b) Các số chính phương lẻ luôn đồng dư \(1\left( {{\rm{mod}}7} \right)\) và các số chính phương chẵn luôn chia hết cho 4 .

Suy ra tổng các bình phương của 504 số lẻ luôn chia hết cho 4 (504 chia hết cho 4).

Giả sử số các số chẵn trên bảng còn lại ít hơn số lẻ nên số số lẻ lớn hơn 506 số.

Khi đó tồn tại tổng các bình phương 504 số lẻ thỏa mãn hoặc nếu số các số chẵn trên bảng còn lại nhiều hơn số lẻ. Suy ra số số chẵn lớn hơn 506 .

Vậy tổng các bình phương 504 số đó luôn chia hết cho 4.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link