Cho tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) sao cho hai tia \(BA\) và \(CD\) cắt nhau

Câu hỏi số 617194:

Vận dụng cao

Cho tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) sao cho hai tia \(BA\) và \(CD\) cắt nhau tại điểm \(E\), hai tia \(AD\) và \(BC\) cắt nhau tại điểm \(F\). Gọi \(G,H\) lần lượt là trung điểm của \(AC,BD\). Đường phân giác của các góc \(\angle {BEC}\) và \(\angle {AFB}\) cắt nhau tại điểm \(K\). Gọi \(L\) là hình chiếu vuông góc của \(K\) trên đường thẳng \(EF\). Chứng minh rằng:

a. \(\angle {DEF} + \angle {DFE} = \angle {EBF}\) và \(KL = \sqrt {LE \cdot LF} \).

b. \(\angle {GED} = \angle {HEA}\) và \(EG.FH = EH.FG\).

c. \(\dfrac{{MB}}{{MC}} + \dfrac{{NB}}{{NA}} = 2 \cdot \dfrac{{KH}}{{KG}}\); trong đó \(M\) là giao điểm của hai đường thẳng \(EK\) và \(BC,N\) là giao điểm của hai đường thẳng \(FK\) và \(AB\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:617194

Giải chi tiết

a) Vì \(ABCD\) là tứ giác nội tiếp nên

\(\angle {EBF} = \angle {ABC} = {180^ \circ } - \angle {ADC} = {180^ \circ } - \angle {EDF} = \angle {DEF} + \angle {DFE}\)

Ta có \(\angle {KFE} + \angle {KEF} = \dfrac{{\angle {AFB} + \angle {BEC}}}{2} + \angle {BFE} + \angle {BEF}\)

\(\begin{array}{l} = \dfrac{{{{360}^ \circ } - \angle {FAB} - \angle {BCE} - 2\angle {ABF}}}{2} + \angle {ABF}\\ = {90^ \circ } - \angle {ABF} + \angle {ABF} = {90^ \circ }\end{array}\)\(\begin{array}{*{20}{r}}{}&\;\\{}&{\;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{}&\;\end{array}\)

Do đó \(\Delta KEF\) là tam giác vuông tại \(K\), có \(KL\) là đường cao nên theo hệ thức lượng ta được \(K{L^2} = LE.LF\)

\( \Rightarrow KL = \sqrt {LE \cdot LF} \) (đpcm)

b) Ta có vì có \(\angle {BEC}\) chung, \(\angle {EAC} = \angle {BAC} = \angle {BDC} = \angle {BDE}\).

Mà \(EG,EH\) là trung tuyến của \(\Delta EAC,\Delta EBD\) nên .

Suy ra \(\angle {GED} = \angle {HEA}\) và \(\dfrac{{EG}}{{EH}} = \dfrac{{AG}}{{DH}} = \dfrac{{AC}}{{BD}}\).

Tương tự ta được \(\dfrac{{FG}}{{FH}} = \dfrac{{AC}}{{BD}}\).

Do đó \(\dfrac{{FG}}{{FH}} = \dfrac{{EG}}{{EH}}\) suy ra \(EG.FH = EH.FG\) (đpcm)

c) Theo b) ta được \(EK\) là phân giác \(\angle {GEH}\).

Tương tự ta được \(FK\) là phân giác \(\angle {GFH}\).

Gọi \(K'\) là giao của \(EK\) với \(GH\).

Theo tính chất đường phân giác ta có

\(\dfrac{{K'G}}{{K'H}} = \dfrac{{EG}}{{EH}} = \dfrac{{FG}}{{FH}}\)

Suy ra \(FK'\) là phân giác \(\angle {GFH}\).

Do đó \(K\) trùng \(K'\). Nên \(H,K,G\) thẳng hàng.

Vì \(EK\) là phân giác nên theo tính chất đường phân giác kết hợp với phương tích, ta được

\(\dfrac{{MB}}{{MC}} = \dfrac{{EB}}{{EC}} = \dfrac{{ED}}{{EA}} = \dfrac{{EH}}{{EG}} = \dfrac{{KH}}{{KG}}\)

Tương tự ta được \(\dfrac{{NB}}{{NA}} = \dfrac{{KH}}{{KG}}\) suy ra \(\dfrac{{MB}}{{MC}} + \dfrac{{NB}}{{NA}} = 2 \cdot \dfrac{{KH}}{{KG}}\) (đpcm)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link