Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bành hành tâm O. Gọi M là trung điểm của SB và G là trọng

Câu hỏi số 617815:

Vận dụng cao

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bành hành tâm O. Gọi M là trung điểm của SB và G là trọng tâm của tam giác SAD.

a) Tìm giao điểm H của DM và (SAC) . Tính tỉ số \(\dfrac{{HO}}{{HS}}\).

b) Tìm giao điểm K của GM với (ABCD) . Chứng minh KC = 2KD.

c) Tìm \(J = AD \cap \left( {OMG} \right)\). Tính tỉ số giữa hai cạnh JA và JD.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:617815

Phương pháp giải

Định lí Menelaus: \(\dfrac{{AM}}{{MB}}.\dfrac{{BP}}{{PC}}.\dfrac{{CN}}{{NA}} = 1.\)

Giải chi tiết

a) + Chọn (SBD) chứa DM.

+ Tìm giao tuyến của (SBD) và (SAC)

S là điểm chung thứ nhất.

Gọi \(AC \cap BD = \left\{ O \right\} \Rightarrow O\) là điểm chung thứ hai.

\( \Rightarrow \left( {SBD} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SO.\)

+ Bước 3: Gọi \(SO \cap DM = \left\{ H \right\} \Rightarrow DM \cap \left( {SAC} \right) = \left\{ H \right\}\).

Tính \(\dfrac{{HO}}{{HS}}\).

Cách 1: Xét tam giác SBD: DM là trung tuyến, SO là trung tuyến.

\(H = DM \cap SO \Rightarrow H\) là trọng tâm tam giác SBD.

\( \Rightarrow \dfrac{{HO}}{{HS}} = \dfrac{1}{2}.\)

Cách 2: Xét tam giác SOB:

\(\dfrac{{SM}}{{MB}}.\dfrac{{BD}}{{DO}}.\dfrac{{OH}}{{HS}} = 1 \Rightarrow 1.2.\dfrac{{OH}}{{HS}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{OH}}{{HS}} = \dfrac{1}{2}.\)

b) + Chọn (SBN) chứa MG.

+ Tìm \(\left( {SBN} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BN.\)

+ Gọi \(BN \cap MG = \left\{ K \right\} \Rightarrow MG \cap \left( {ABCD} \right) = \left\{ K \right\}.\)

Xét tam giác SBN: \(\dfrac{{SM}}{{MB}}.\dfrac{{BK}}{{KN}}.\dfrac{{NG}}{{GS}} = 1 \Rightarrow 1.\dfrac{{BK}}{{KN}}.\dfrac{1}{2} = 1 \Rightarrow \dfrac{{BK}}{{KN}} = 2\).

=> N là trung điểm của BK => BN = NK.

Xét \(\Delta ABN\) và \(\Delta DKN\) có:

AN = ND (gt)

BN = NK (cmt)

\(\angle ANK = \angle DNK\) (đối đỉnh)

\( \Rightarrow \Delta ABN = \Delta DKN\,\,\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \angle ABN = \angle DKN\).

Mà 2 góc này ở vị trí hai góc so le trong => AB // DK.

Mà AB // CD (gt)

=> D, K, C thẳng hàng.

Mà DK = AB, CD = AB => DK = CD.

Vậy KC = 2KD.

c) + Mở rộng (OMG) ta được (OMK).

Gọi \(OK \cap AD = \left\{ J \right\} \Rightarrow AD \cap \left( {OMG} \right) = \left\{ J \right\}\).

Tam giác OBK: \(\dfrac{{BN}}{{NK}}.\dfrac{{KJ}}{{JO}}.\dfrac{{OD}}{{BD}} = 1 \Rightarrow 1.\dfrac{{KJ}}{{JO}}.\dfrac{1}{2} = 1 \Rightarrow \dfrac{{KJ}}{{JO}} = 2\).

Định lí Ta-lét: \(\dfrac{{JD}}{{JN}} = \dfrac{{KJ}}{{JO}} = 2 \Rightarrow \dfrac{{JD}}{{DN}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow \dfrac{{JD}}{{AD}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{{JD}}{{JA}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{{JA}}{{JD}} = 2.\)

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.