1) Giải phương trình: \({x^2} + x + 5 = 3\sqrt {{x^3} + {x^2} - x + 2} \;.\)2) Giải hệ phương trình

Câu hỏi số 617905:

Vận dụng

1) Giải phương trình: \({x^2} + x + 5 = 3\sqrt {{x^3} + {x^2} - x + 2} \;.\)

2) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - xy - 2{y^2} + 4x - 5y + 3 = 0\left( 1 \right)\\{x^2} - 10y + 9 + 2\sqrt {x - 1} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:617905

Phương pháp giải

1) Đặt \(u = \sqrt {{x^2} - x + 1} ,\;\nu = \sqrt {x + 2} ;\;u,v \ge 0{\mkern 1mu} .\) đưa về hệ phương trình tìm hệ thức liên hệ u và v

2) \((1) \Leftrightarrow (x + y + 3)(x - 2y + 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = - x - 3\\y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\) thay vào (2) tìm (x, y)

Giải chi tiết

1) Phương trình đã cho tương đương với \(\left( {{x^2} - x + 1} \right) + 2\left( {x + 2} \right) = 3\sqrt {\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)} \)

Điều kiện \(x \ge 2\)

Đặt \(u = \sqrt {{x^2} - x + 1} ,\;\nu = \sqrt {x + 2} ;\;u,v \ge 0{\mkern 1mu} .\)

Phương trình trở thành \({u^2} + 2{v^2} = 3uv \Leftrightarrow {u^2} - 3uv + 2{v^2} = 0 \Leftrightarrow \left( {u - v} \right)\left( {u - 2v} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = v\\u = 2v\end{array} \right.\)

Với \(u = v\) thì \({x^2} - x + 1 = x + 2 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \pm \sqrt 2 \)

Với \(u = 2v\) thì \({x^2} - x + 1 = 4\left( {x + 2} \right) \Leftrightarrow {x^2} - 5x - 7 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{5 \pm \sqrt {53} }}{2}{\mkern 1mu} .\)

2) Điều kiện \(x \ge 1\)

\((1) \Leftrightarrow (x + y + 3)(x - 2y + 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = - x - 3\\y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)

Với \(y = - x - 3\) thế vào (2) ta được \({x^2} + 10x + 39 + 2\sqrt {x - 1} = 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x + 5} \right)^2} + 14 + 2\sqrt {x - 1} = 0{\mkern 1mu} ;\) vô nghiệm

Với \(y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2}\) thế vào (2) ta được \({x^2} - 5x + 4 + 2\sqrt {x - 1} = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 = x - 2\sqrt {x - 1} \\ \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} = {\left( {\sqrt {x - 1} - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = \sqrt {x - 1} - 1\\x - 2 = 1 - \sqrt {x - 1} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {x - 1} = x - 1\,\,\left( 3 \right)\\\sqrt {x - 1} = 3 - x\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

\(\left( 3 \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {x - 1} = 0}\\{\sqrt {x - 1} = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1\left( {t/m} \right)}\\{x = 2\left( {t/m} \right)}\end{array}} \right.} \right.\).

\(\left( 4 \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{3 - x \ge 0}\\{x - 1 = {x^2} - 6x + 9}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \le 3}\\{{x^2} - 7x + 10 = 0}\end{array} \Leftrightarrow x = 2\left( {t/m} \right)} \right.} \right.\)

Với \(x = 1\) thì \(y = 1\)

Với \(x = 2\) thì \(y = \dfrac{3}{2}\)

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = 1}\end{array};\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = \dfrac{3}{2}}\end{array}} \right.} \right.\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link