1) Cho hình chữ nhật \(ABCD\) có chiều dài bằng \(47{\rm{\;cm}}\), chiều rộng bằng. Chứng minh

Câu hỏi số 617906:

Vận dụng

1) Cho hình chữ nhật \(ABCD\) có chiều dài bằng \(47{\rm{\;cm}}\), chiều rộng bằng. Chứng minh rằng trong trong số 2022 điểm bất kì nằm trong hình chữ nhật \(ABCD\) luôn tìm được hai điểm mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn hoặc bằng \(\sqrt 2 {\rm{\;cm}}\).

2) Tìm tất cả các số nguyên dương \(x,y\) thỏa mãn \(5{x^2} + 3{y^2} = 20x - 24y + 477\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:617906

Phương pháp giải

1) Theo nguyên lí Dirichlet

2) PT \( \Leftrightarrow 5{(x - 2)^2} + 3{(y + 4)^2} = 545\), sử dụng tính chất chia hết cho 5 tìm x, y

Giải chi tiết

1) Chia hình chữ nhật \(ABCD\) thành 2021 hình vuông nhỏ có cạnh bằng \(1{\rm{\;cm}}\).

Khi lấy 2022 điểm bất kì trong hình chữ nhật \(ABCD\) thì chúng thuộc 2021 hình vuông nhỏ trên.

Theo nguyên lí Dirichlet, tồn tại 2 điểm thuộc cùng một hình vuông nhỏ.

Khi đó khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn đường chéo hình vuông nhỏ là \(\sqrt 2 {\rm{\;cm}}\).

2) \(5{x^2} + 3{y^2} = 20x - 24y + 477\)

\( \Leftrightarrow 5{x^2} - 20x + 20 + 3{y^2} + 24y + 48 = 545\)

\( \Leftrightarrow 5{(x - 2)^2} + 3{(y + 4)^2} = 545\)

Do \(5{(x - 2)^2}\) và 545 cùng chia hết cho 5 nên \(3{(y + 4)^2}\) chia hết cho 5 .

Mà \(\left( {3,5} \right) = 1\) nên \(3{(y + 4)^2} \vdots 5\) hay \(\left( {y + 4} \right) \vdots 5\)

Có \(3{(y + 4)^2} \le 545 \Rightarrow {(y + 4)^2} \le \dfrac{{545}}{3} \Rightarrow y + 4 \le 13\)

Từ đó \(y = 1\) hoặc \(y = 6\).

Với \(y = 1\) thì \({(x - 2)^2} = 94\) : loại

Với \(y = 6\) thì \({(x - 2)^2} = 49 \Rightarrow x = 9\)

Vậy cặp \(\left( {x;y} \right)\) cần tìm là \(\left( {9;6} \right)\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link