Từ điểm \(A\) ở bên ngoài đường tròn \((O)\) kẻ hai tiếp tuyến \(AM,AN\) với \((O)(M,N\) là

Câu hỏi số 618145:

Vận dụng cao

Từ điểm \(A\) ở bên ngoài đường tròn \((O)\) kẻ hai tiếp tuyến \(AM,AN\) với \((O)(M,N\) là các tiếp điểm). Gọi \(E\) là trung điểm của \(AN,C\) là giao điểm của \(ME\) với \((O)(C\) khác \(M)\) và \(H\) là giao điểm của \(MN\) và \(AO\)

a) Chứng minh tứ giác \(HCEN\) nội tiếp

b) Gọi \(D\) là giao điểm của \(AC\) với \((O)(D\) khác \(C\) ). Chứng minh \(\Delta MND\) là tam giác cân

c) Gọi \(I\) là giao điểm của \(NO\) với \((O)(I\) khác \(N);K\) là giao điểm của \(MD\) và \(AI\). Tính tỉ số \(\dfrac{{KM}}{{KD}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:618145

Giải chi tiết

Ta có \(AM,AN\) là hai tiếp tuyến cắt nhau nên \(OA\) là đường phân giác của \(\widehat {MON}\)

\(\Delta MON\) cân tại \(O\), có OA đường phân giác nên OA đồng thời cũng là đường trung trực ứng với \(MN\)

\( \Rightarrow MH = HN;OA \bot MN\)

Vì \(MH = HN;AE = EN\) nên \(HE\) là đường trung bình của \(\Delta MAN\)

\( \Rightarrow HE//MA \Rightarrow \widehat {HEM} = \widehat {AME}\)

Mà \(\widehat {MNC} = \widehat {AME}\) (cùng chắn cung \(MC\) ) nên \(\widehat {MNC} = \widehat {HEM}\)

Suy ra tứ giác \(HCEN\) nội tiếp.

\(\Delta ENC \sim \Delta EMN(g.g) \Rightarrow \dfrac{{EN}}{{EM}} = \dfrac{{EC}}{{EN}}\)

mà \(EN = EA\) nên \(\dfrac{{EA}}{{EM}} = \dfrac{{EC}}{{EA}}\)

\(\Delta ECA\) và \(\Delta EAM\) có \(\dfrac{{EA}}{{EM}} = \dfrac{{EC}}{{EA}}\) và \(\widehat {AEC}\) chung

Do đó \(\Delta ECA \sim \Delta EAM \Rightarrow \widehat {EAC} = \widehat {EMA}\)

Lại có \(\angle EMA = \angle MDC\)(do cùng chắn cung MC) nên \(\angle EAM = \angle MDC\)

Suy ra \(MD\parallel AN \Rightarrow \angle DMN = \angle MNA\)

Mặt khác \(\angle MDN = \angle MNA\) (cùng chắn cung MN)

\( \Rightarrow \angle MDN = \angle DMN\)

\( \Rightarrow \Delta MND\) cân tại N

c) Gọi L là giao điểm của MD và NI

Vì \(MD\parallel AN,IN \bot AN\) (tính chất tiếp tuyến)

Nên \(IN \bot MD \Rightarrow DL = ML = \dfrac{{MD}}{2}\)

\(\Delta INA\) có \(LK\parallel AN \Rightarrow \dfrac{{LK}}{{AN}} = \dfrac{{IL}}{{IN}}\,\,\,\left( 1 \right)\)

Ta có \(IM\parallel AO\) (cùng vuông góc với MN)

Suy ra \(\angle MIL = \angle AON\)

Lại có \(\angle MLI = \angle ONA = {90^0}\) nên \(\Delta MIL \sim \Delta AON\left( {g.g} \right)\)

Suy ra \(\dfrac{{IL}}{{NO}} = \dfrac{{ML}}{{AN}} \Rightarrow \dfrac{{IL}}{{2NO}} = \dfrac{{ML}}{{2AN}} \Rightarrow \dfrac{{IL}}{{IN}} = \dfrac{{ML}}{{2AN}}\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{{LK}}{{AN}} = \dfrac{{ML}}{{2AN}} \Rightarrow LK = \dfrac{{ML}}{2} \Rightarrow MK = KL = \dfrac{{ML}}{2}\)

VÌ \(MK = LK,ML = DL \Rightarrow KD = 3KM \Rightarrow \dfrac{{KM}}{{KD}} = \dfrac{1}{3}\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link