Cho hình nón đỉnh \(S\) có đáy là hình tròn tâm \(O\). Một mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón

Câu hỏi số 618489:

Vận dụng

Cho hình nón đỉnh \(S\) có đáy là hình tròn tâm \(O\). Một mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là một tam giác vuông \(SAB\) có diện tích bằng \(4{a^2}\). Góc giữa trục \(SO\) và mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) bằng \({30^0}\). Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng

A. \(4\sqrt {10} \pi {a^2}\).

B. \(8\sqrt {10} \pi {a^2}\).

C. \(\sqrt {10} \pi {a^2}\).

D. \(2\sqrt {10} \pi {a^2}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:618489

Phương pháp giải

Gọi \(a'\) là hình chiếu vuông góc của \(a\) trên mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Góc giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) là góc giữa đường thẳng \(a\) và \(a'\).

Giải chi tiết

Gọi M là trung điểm của AB, dựng OH vuông góc SM \( \Rightarrow OH \bot \left( {SAB} \right)\).

\( \Rightarrow \left( {SO;\left( {SAB} \right)} \right) = \left( {SO;SM} \right) = \widehat {OSM} = {30^0}\).

Tam giác SAB vuông cân tại S

\( \Rightarrow {S_{SAB}} = \dfrac{1}{2}.S{A^2} = 4{a^2} \Rightarrow SA = 2\sqrt 2 a\).

Đồng thời, \(SM = AM = BM = \dfrac{{SA}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{2\sqrt 2 a}}{{\sqrt 2 }} = 2a\).

Tam giác SOM vuông tại O

\( \Rightarrow OM = SM.\sin \widehat S = 2a.\sin {30^0} = a\).

Tam giác AOM vuông tại M

\( \Rightarrow OA = \sqrt {O{M^2} + A{M^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}} = a\sqrt 5 \).

Diện tích xung quanh của hình nón :

\(S = \pi rl = \pi .OA.SA = \pi .a\sqrt 5 .2\sqrt 2 a = 2\pi \sqrt {10} {a^2}\).

Chọn D

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.