Cho hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{ax + b}}{{{x^2} + 4}}\) với a, b là tham số. Nếu \(\mathop {\min

Câu hỏi số 618620:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{ax + b}}{{{x^2} + 4}}\) với a, b là tham số. Nếu \(\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right) = - 1\) thì \(\mathop {\max }\limits_\mathbb{R} f\left( x \right)\) bằng

A. \(\dfrac{{11}}{{20}}\).

B. \(\dfrac{5}{{12}}\).

C. \(\dfrac{3}{4}\).

D. \(\dfrac{1}{4}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:618620

Phương pháp giải

Dựa vào giả thiết \(\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right) = - 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( { - 1} \right) = - 1\\f'\left( { - 1} \right) = 0\end{array} \right.\), giải hệ phương trình tìm a, b.

Thay giá trị a, b tìm được, lập BBT hàm số f(x) và xác định \(\mathop {\max }\limits_\mathbb{R} f\left( x \right)\).

Giải chi tiết

Dễ thấy \(a \ne 0\). Lại có \(\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right) = - 1\) nên \( - a + b = - 5\,\,\,\left( 1 \right)\).

Ta có: \(f'\left( x \right) = {\dfrac{{ - a{x^2} - 2bx + 4a}}{{\left( {{x^2} + 4} \right)}}^2}\).

Xét phương trình \( - a{x^2} - 2bx + 4a = 0\) có \(\Delta ' = {b^2} + 4{a^2} > 0\,\,\forall a,b\) nên phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) luôn có hai nghiệm phân biệt.

Vì \(\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right)\) nên \(f'\left( { - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow - a{\left( { - 1} \right)^2} - 2b.\left( { - 1} \right) + 4a = 0 \Leftrightarrow 3a + 2b = 0\,\,\left( 2 \right)\).

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - a + b = - 5\\3a + 2b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 3\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{2x - 3}}{{{x^2} + 4}},\,f'\left( x \right) = \dfrac{{ - 2{x^2} + 6x + 8}}{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}}\).

Ta có BBT:

Vậy \(\mathop {\max }\limits_\mathbb{R} f\left( x \right) = \dfrac{1}{4}.\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.