Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứca) \(A = \dfrac{{ - 4}}{{\left| {x + 4} \right| +

Câu hỏi số 618686:

Thông hiểu

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a) \(A = \dfrac{{ - 4}}{{\left| {x + 4} \right| + 2}}\)

b) \(B = \dfrac{{ - 5,8}}{{\left| {2,5 - x} \right| + 5,8}}\)

c) \(C = 5 + \dfrac{{ - 8}}{{4\left| {5x + 7} \right| + 24}}\)

d) \(D = \dfrac{6}{5} - \dfrac{{14}}{{5\left| {6x - 8} \right| + 35}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:618686

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối rồi vận dụng tính chất của bất đẳng thức để đánh giá biểu thức

Giải chi tiết

a) \(A = \dfrac{{ - 4}}{{\left| {x + 4} \right| + 2}}\)

Vì \(\left| {x + 4} \right| \ge 0\forall x\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left| {x + 4} \right| + 2 \ge 2\forall x\\ \Rightarrow \dfrac{4}{{\left| {x + 4} \right| + 2}} \le \dfrac{4}{2}\forall x\\ \Rightarrow \dfrac{{ - 4}}{{\left| {x + 4} \right| + 2}} \ge \dfrac{{ - 4}}{2}\forall x\end{array}\)

Hay \(A \ge \left( { - 2} \right)\forall x\)

Dấu ‘‘=’’ xảy ra khi và chỉ khi \(\left| {x + 4} \right| = 0 \Rightarrow x = - 4\)

Vậy GTNN của \(A\) là \( - 2\) khi và chỉ khi \(x = - 4\)

b) \(B = \dfrac{{ - 5,8}}{{\left| {2,5 - x} \right| + 5,8}}\)

Vì \(\left| {2,5 - x} \right| \ge 0\forall x\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left| {2,5 - x} \right| + 5,8 \ge 5,8\forall x\\ \Rightarrow \dfrac{{5,8}}{{\left| {2,5 - x} \right| + 5,8}} \le \dfrac{{5,8}}{{5,8}}\forall x\\ \Rightarrow \dfrac{{ - 5,8}}{{\left| {2,5 - x} \right| + 5,8}} \ge \dfrac{{ - 5,8}}{{5,8}}\forall x\end{array}\)

Hay \(B \ge \left( { - 1} \right)\forall x\)

Dấu ‘‘=’’ xảy ra khi và chỉ khi

\(\left| {2,5 - x} \right| = 0 \Rightarrow x = 2,5\)

Vậy GTNN của \(B\) là \( - 1\) khi và chỉ khi \(x = 2,5\)

c) \(C = 5 + \dfrac{{ - 8}}{{4\left| {5x + 7} \right| + 24}}\)

Vì \(\left| {5x + 7} \right| \ge 0\forall x\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 4\left| {5x + 7} \right| \ge 0\forall x\\ \Rightarrow 4\left| {5x + 7} \right| + 24 \ge 24\forall x\\ \Rightarrow \dfrac{8}{{4\left| {5x + 7} \right| + 24}} \le \dfrac{8}{{24}}\forall x\\ \Rightarrow \dfrac{{ - 8}}{{4\left| {5x + 7} \right| + 24}} \ge \dfrac{{ - 8}}{{24}}\forall x\\ \Rightarrow 5 + \dfrac{{ - 8}}{{4\left| {5x + 7} \right| + 24}} \ge 5 + \dfrac{{ - 8}}{{24}}\forall x\end{array}\)

Hay \(C \ge \dfrac{{14}}{3}\forall x\)

Dấu ‘‘=’’ xảy ra khi và chỉ khi \(\left| {5x + 7} \right| = 0 \Rightarrow x = \dfrac{{ - 7}}{5}\)

Vậy GTNN của \(C\) là \(\dfrac{{14}}{3}\) khi và chỉ khi \(x = \dfrac{{ - 7}}{5}\)

d) \(D = \dfrac{6}{5} - \dfrac{{14}}{{5\left| {6x - 8} \right| + 35}}\)

Vì \(\left| {6x - 8} \right| \ge 0\forall x\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 5\left| {6x - 8} \right| \ge 0\forall x\\ \Rightarrow 5\left| {6x - 8} \right| + 35 \ge 35\forall x\\ \Rightarrow \dfrac{{14}}{{5\left| {6x - 8} \right| + 35}} \le \dfrac{{14}}{{35}}\forall x\\ \Rightarrow - \dfrac{{14}}{{5\left| {6x - 8} \right| + 35}} \ge - \dfrac{{14}}{{35}}\forall x\\ \Rightarrow \dfrac{6}{5} - \dfrac{{14}}{{5\left| {6x - 8} \right| + 35}} \ge \dfrac{6}{5} - \dfrac{{14}}{{35}}\forall x\end{array}\)

Hay \(D \ge \dfrac{4}{5}\forall x\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left| {6x - 8} \right| = 0 \Rightarrow x = \dfrac{4}{3}\)

Vậy GTNN của \(D\) là \(\dfrac{4}{5}\) khi và chỉ khi \(x = \dfrac{4}{3}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link