a) Cho phương trình \(\left( {5 - m} \right){x^2} + \left( {n - 3m} \right)x + 5 + m = 0\), với \(m\) và \(n\)

Câu hỏi số 618696:

Vận dụng cao

a) Cho phương trình \(\left( {5 - m} \right){x^2} + \left( {n - 3m} \right)x + 5 + m = 0\), với \(m\) và \(n\) là các tham số. Tìm tất cả các cặp số nguyên \(\left( {m;n} \right)\) sao cho phương trình đã cho có nghiệm kép.

b) Trong mặt phải tọa độ \(Oxy\), cho parabol \(\left( P \right):y = \dfrac{2}{3}{x^2}\), với \(O\) là gốc tọa độ. Tìm tọa độ hai điểm \(A,B\) trên \(P\) sao cho tam giác \(OAB\) vuông tại \(O\) và khoảng cách từ \(O\) đến \(AB\) lớn nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:618696

Giải chi tiết

Điều kiện xác định: \(m \ne 5\)

Ta có: \({\rm{\Delta }} = {(n - 3m)^2} - 4\left( {25m - {m^2}} \right)\).

Để phương trình có nghiệm kép thì:

\(\begin{array}{l}{\rm{\Delta }} = 0 \Leftrightarrow \left( {n - 3{m^2}} \right) - 4\left( {25 - {m^2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {n - 3{m^2}} \right) = 4\left( {25 - {m^2}} \right)\left( * \right)\end{array}\)

\( \Leftrightarrow 25 - {m^2}\) là số chính phương.

Đặt \(25 - {m^2} = {a^2}\left( {a \in \mathbb{Z}} \right)\)

Xét \(a = 0\) thì \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 5,n = 15}\\{m = - 5,n = - 15}\end{array}} \right.\).

Xét \(a = 1\) thì \({m^2} = 24\) mà 24 không phải là số chính phương nên vô lí.

Xét \({a^2} = 4\) thì \({m^2} = 21\) mà 21 không là số chính phương nên vô lí.

Xét \({a^2} = 9\) thì \({m^2} = 16\) nên \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 4,n = 12}\\{m = - 4,n = - 12}\end{array}} \right.\).

Xét \({a^2} = 16\) thì \({m^2} = 9\) nên \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 3,n = 9}\\{m = - 3,n = - 9}\end{array}} \right.\).

Xét \({a^2} = 25\) thì \({m^2} = 0\) nên \(m = 0\) và \(n = 0\).

Vậy để các cặp số nguyên \(m,n\) thỏa đề là: \(\left( {m;n} \right) = \left( {3;9} \right) = \left( { - 3; - 9} \right) = \left( {4;12} \right) = \left( { - 1; - 12} \right) = \left( {0;0} \right)\).

b) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho parabol \(\left( P \right):y = \dfrac{2}{3}{x^2}\), với \(O\) là gốc tọa độ. Tìm tọa độ hai điểm \(A,B\) trên \(\left( P \right)\) sao cho tam giác \(OAB\) vuông tại \(O\) và khoảng cách từ \(O\) đến \(AB\) lớn nhất.

Gọi \(A\left( {a,\dfrac{2}{3}{a^2}} \right),B\left( {b,\dfrac{2}{3}{b^2}} \right) \in \left( P \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow O{A^2} = {a^2} + {\left( {\dfrac{2}{3}{a^2}} \right)^2} = \dfrac{4}{9}{a^4} + {a^2}\\ \Rightarrow O{B^2} = \dfrac{4}{9}{b^4} + {b^2}\\ \Rightarrow A{B^2} = {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {\dfrac{2}{3}{a^2} - \dfrac{2}{3}{b^2}} \right)^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab + \dfrac{4}{9}\left( {{a^4} + {b^4} - 2{a^2}{b^2}} \right)\end{array}\)

Do \(\Delta OAB\) vuông tại O nên \(O{A^2} + O{B^2} = A{B^2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{4}{9}{a^4} + {a^2} + \dfrac{4}{9}{b^4} + {b^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab + \dfrac{4}{9}\left( {{a^4} + {b^4} - 2{a^2}{b^2}} \right)\\ \Leftrightarrow 2ab + \dfrac{8}{9}{a^2}{b^2} = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}ab = 0\left( L \right)\\\dfrac{8}{9}ab + 2 = 0 \Rightarrow ab = \dfrac{{ - 9}}{4}\end{array} \right.\end{array}\)

Gọi OH là đường cao kẻ từ O đến AB. Khi đó ta có

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2} + \dfrac{4}{9}{a^4}}} + \dfrac{1}{{{b^2} + \dfrac{4}{9}{b^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}\left( {1 + \dfrac{4}{9}{a^2}} \right)}} + \dfrac{1}{{{b^2}\left( {1 + \dfrac{4}{9}{b^2}} \right)}}\\ = \dfrac{9}{{{a^2}\left( {9 + 4{a^2}} \right)}} + \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{ - 9}}{{4{a^2}}}} \right)}^2}\left( {1 + \dfrac{4}{9}{{\left( {\dfrac{{ - 9}}{{4a}}} \right)}^2}} \right)}} = \dfrac{9}{{{a^2}\left( {4{a^2} + 9} \right)}} + \dfrac{{64{a^4}}}{{81\left( {4{a^2} + 9} \right)}}\\ = \dfrac{1}{{4{a^2} + 9}}\left( {\dfrac{9}{{{a^2}}} + \dfrac{{64{a^4}}}{{81}}} \right) = \dfrac{1}{{4{a^2} + 9}}.\dfrac{{64{a^4} + 729}}{{81{a^2}}} = \dfrac{{\left( {4{a^2} + 9} \right)\left( {16{a^4} - 36{a^2} + 81} \right)}}{{81{a^2}\left( {4{a^2} + 9} \right)}}\\ = \dfrac{{16{a^4} - 36{a^2} + 81}}{{81{a^2}}} = \dfrac{{16{a^2}}}{{81}} + \dfrac{1}{{{a^2}}} - \dfrac{{36}}{{81}} \ge 2\sqrt {\dfrac{{16{a^2}}}{{81}}.\dfrac{1}{{{a^2}}}} - \dfrac{{36}}{{81}} = \dfrac{4}{9}\end{array}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\dfrac{{16{a^2}}}{{81}} = \dfrac{1}{{{a^2}}} \Rightarrow {a^4} = \dfrac{{81}}{{16}} \Rightarrow a = \pm \dfrac{3}{2}\)

Vậy \(A\left( {\dfrac{3}{2},\dfrac{3}{2}} \right),B\left( { - \dfrac{3}{2},\dfrac{3}{2}} \right)\) là 2 điểm cần tìm.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link