a) Tìm tất cả các cặp số nguyên \(\left( {a;b} \right)\) thỏa mãn \({a^3} = \left( {{b^2} + a} \right)b +

Câu hỏi số 618698:

Vận dụng cao

a) Tìm tất cả các cặp số nguyên \(\left( {a;b} \right)\) thỏa mãn \({a^3} = \left( {{b^2} + a} \right)b + 5\).

b) Cho phương trình \({x^2} - 2x + {k^2} - 3k - 9 = 0\), với \(k\) là tham số. Khi phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(Q = \sqrt {x_1^2 + {x_2} - {x_1} + k + 10} + \sqrt {x_2^2 - 2{x_2} + 1} \).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:618698

Giải chi tiết

a) Tìm tất cả các cặp số nguyên \(\left( {a;b} \right)\) thỏa mãn \({a^3} = \left( {{b^2} + a} \right)b + 5\).

Ta có \({a^3} = \left( {{b^2} + a} \right)b + 5\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {a^3} - {b^3} = ab + 5\left( {\;{\rm{*}}} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right) = ab + 5\end{array}\)

Với \(\left( {a;b} \right)\) là cặp số nguyên thì \(a - b\) nguyên

Trường hợp 1: \(a > b\)

\( \Rightarrow ab + 5 > {a^2} + ab + {b^2} \Rightarrow {a^2} + {b^2} \le 5\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2,b = 1{\rm{\;(TM)\;}}}\\{a = 1;b = - 2{\rm{\;(KTM)\;}}}\\{a = - 1;b = - 2{\rm{\;(TM)}}}\\{a = 2;b = - 1{\rm{\;(KTM)\;}}}\end{array}} \right.\)

Trường hợp 2: \(a < b\)

Gọi \(d = \left( {a,b} \right)\) thì ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = d{m_1}}\\{b = d{m_2}}\end{array} = 1} \right.\) với \(\left( {{m_1},{m_2}} \right)\) và \({m_2} > {m_1}\).

Thay vào \(\left( {\;{\rm{*}}} \right)\) ta được:

\(\begin{array}{l}{d^3}m_1^3 - {d^3}m_2^3 = {d^2}{m_1}{m_2} + 5\\ \Leftrightarrow {d^2}\left( {m_1^3 - m_2^3 - m - {m_1}{m_2}} \right) = 5\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{d^2} = 1}\\{\left( {m_1^3 - m_2^3 - {m_1}{m_2} = 5} \right.}\end{array}} \right.\end{array}\).

Từ đây ta sẽ có được: \(m_1^3 = m_2^3 + {m_1}{m_2} + 5\)

Nếu \({m_1}{m_2} > 0\) thì \(m_1^3 > m_2^3\) (Vô lí)

Do đó \({m_1}{m_2} < 0\) hay \(a < 0\) và \(b > 0\)

Ta lại có: \({a^3} = \left( {{b^2} + a} \right)b + 5\)

\({\rm{VT}} < 0\) mà \({\rm{VP}} > 0\) do đó trường hợp này không có cặp số nguyên \(\left( {a;b} \right)\) thỏa mãn

Vậy cặp số nguyên \(\left( {a;b} \right)\) thỏa để là \(\left( {a;b} \right) = \left( {2;1} \right) = \left( { - 1; - 2} \right)\)

b) \({\rm{\Delta '}} = 1 - \left( {{k^2} - 3k - 9} \right) \ge 0 \Leftrightarrow {k^2} - 3k - 10 \le 0\).

\( \Leftrightarrow \left( {k - 5} \right)\left( {k + 2} \right) \le 0 \Leftrightarrow - 2 \le k \le 5\)

Theo định lí Vi-ét: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 2 \Leftrightarrow {x_2} = 2 - {x_2}}\\{{x_1}{x_2} = {k^2} - 3k - 9}\end{array}} \right.\)

Thay \(Q\) vào ta được:

\(\sqrt {{{(2 - x)}^2} + {x_2} - \left( {2 - {x_2}} \right) + k + 10} + \sqrt {{{(x - 1)}^2}} \).

\( = \sqrt {x_2^2 - 2{x_2} + 1 + k + 11} + \sqrt {{{\left( {{x_2} - 1} \right)}^2}} \ge \sqrt {11 - 2} = 3\).

Vậy \({Q_{{\rm{min}}}} = 3\) khi \(k = - 2\) và \({x_1} = {x_2} = 1\).

Ta xét: \(x_1^2 + {x_2} - {x_1} + k + 10 = x_1^2 - 2{x_1} + \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + k + 10\)

\({x_1}\) là nghiệm của phương trình \( \Rightarrow x_1^2 - 2{x_1} = 9 + 3k - {k^2}\)

Thế vào trên \( \Rightarrow 9 + 3k - {k^2} + 2 + k + 10 = - {k^2} + 4k + 21\)

Xét \(x_2^2 - 2{x_2} + 1\) tương tự như thế \({x_2}\) cũng là nghiệm của phương trình

\( \Rightarrow x_2^2 - 2x_2^2 + 1 = 10 + 3k - {k^2} \Rightarrow Q = \sqrt { - {k^2} + 4k + 21} + \sqrt { - {k^2}3k + 10} \)

\( = \sqrt {\left( {5 - k} \right)\left( {k + 2} \right)} + \sqrt {\left( {7 - k} \right)\left( {k + 3} \right)} \le \sqrt {\left( {5 - k + k + 3} \right)\left( {k + 2 + 7 - k} \right)} = 6\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow Q \le 6\sqrt 2 \)

Vậy \({Q_{{\rm{max}}}} = 6\sqrt 2 \) khi \(k = \dfrac{{29}}{{17}}\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link