Chứng minh rằng với \(a,b\) tuỳ ý, ta có: \(\dfrac{{\left| a \right|}}{{1 + \left| a \right|}} +

Câu hỏi số 619978:

Vận dụng

Chứng minh rằng với \(a,b\) tuỳ ý, ta có: \(\dfrac{{\left| a \right|}}{{1 + \left| a \right|}} + \dfrac{{\left| b \right|}}{{1 + \left| b \right|}} \ge \dfrac{{\left| {a - b} \right|}}{{1 + \left| {a - b} \right|}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:619978

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức sau: \(\left| a \right| + \left| b \right| = \left| a \right| + \left| { - b} \right| \ge \left| {a - b} \right|\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(ab \ge 0\)

Giải chi tiết

Cần chứng minh: \(\dfrac{{\left| a \right|}}{{1 + \left| a \right|}} + \dfrac{{\left| b \right|}}{{1 + \left| b \right|}} \ge \dfrac{{\left| {a - b} \right|}}{{1 + \left| {a - b} \right|}}\)

\(VT = \dfrac{{\left| a \right|\left( {1 + \left| b \right|} \right)}}{{\left( {1 + \left| a \right|} \right)\left( {1 + \left| b \right|} \right)}} + \dfrac{{\left| b \right|\left( {1 + \left| a \right|} \right)}}{{\left( {1 + \left| a \right|} \right)\left( {1 + \left| b \right|} \right)}} = \dfrac{{\left| a \right| + \left| b \right| + 2\left| {ab} \right|}}{{1 + \left| a \right| + \left| b \right| + \left| {ab} \right|}} \ge \dfrac{{\left| a \right| + \left| b \right| + \left| {ab} \right|}}{{1 + \left| a \right| + \left| b \right| + \left| {ab} \right|}}\)

Mà \(\left| a \right| + \left| b \right| \ge \left| {a - b} \right|\)

\( \Rightarrow VT \ge \dfrac{{\left| a \right| + \left| b \right| + \left| {ab} \right|}}{{1 + \left| a \right| + \left| b \right| + \left| {ab} \right|}} \ge \dfrac{{\left| {a - b} \right| + \left| {ab} \right|}}{{1 + \left| {a - b} \right| + \left| {ab} \right|}} \ge \dfrac{{\left| {a - b} \right|}}{{1 + \left| {a - b} \right|}} = VP\)

\( \Rightarrow \)đpcm

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link