Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của biểu thức:a) \(A = \dfrac{{2\left| {7x + 5}

Câu hỏi số 619979:

Vận dụng

Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của biểu thức:

a) \(A = \dfrac{{2\left| {7x + 5} \right| + 11}}{{\left| {7x + 5} \right| + 4}}\) b) \(B = \dfrac{{2\left| {2x + 7} \right| + 6}}{{\left| {2x + 7} \right| + 13}}\) c) \(C = \dfrac{{15\left| {x + 1} \right| + 32}}{{6\left| {x + 1} \right| + 8}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:619979

Phương pháp giải

+ Với mọi số thực \(x\), ta có : \(\left| x \right| \ge 0\)

+ Khi nhân hoặc chia với số âm ta cần đổi chiều bất phương trình

+ Mẫu số càng lớn thì phân số càng nhỏ và ngược lại

Giải chi tiết

a) \(A = \dfrac{{2\left| {7x + 5} \right| + 11}}{{\left| {7x + 5} \right| + 4}}\)

Đặt \(\left| {7x + 5} \right| = a\left( {a \ge 0} \right)\)

Khi đó \(A = \dfrac{{2a + 11}}{{a + 4}} = \dfrac{{2\left( {a + 4} \right) + 3}}{{a + 4}} = 2 + \dfrac{3}{{a + 4}}\)

Vì \(a \ge 0 \Rightarrow a + 4 \ge 4\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{3}{{a + 4}} \le \dfrac{3}{4}\\2 + \dfrac{3}{{a + 4}} \le 2 + \dfrac{3}{4}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,A \le \dfrac{{11}}{4}\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = 0 \Rightarrow \left| {7x + 5} \right| = 0 \Rightarrow x = - \dfrac{5}{7}\)

Vậy GTLN của \(A\) là \(\dfrac{{11}}{4}\) khi và chỉ khi \(x = - \dfrac{5}{7}\)

b) \(B = \dfrac{{2\left| {2x + 7} \right| + 6}}{{\left| {2x + 7} \right| + 13}}\)

Đặt \(\left| {2x + 7} \right| = b\left( {b \ge 0} \right)\)

Khi đó \(B = \dfrac{{2b + 6}}{{b + 13}} = \dfrac{{2\left( {b + 13} \right) - 20}}{{b + 13}} = 2 - \dfrac{{20}}{{b + 13}}\)

Vì \(b \ge 0 \Rightarrow b + 13 \ge 13\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{20}}{{b + 13}} \le \dfrac{{20}}{{13}}\\\,\,\, - \dfrac{{20}}{{b + 13}} \ge - \dfrac{{20}}{{13}}\\2 - \dfrac{{20}}{{b + 13}} \ge 2 - \dfrac{{20}}{{13}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,B \ge \dfrac{6}{{13}}\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(b = 0 \Rightarrow \left| {2x + 7} \right| = 0 \Rightarrow x = - \dfrac{7}{2}\)

Vậy GTNN của \(B\) là \(\dfrac{6}{{13}}\) khi và chỉ khi \(x = - \dfrac{7}{2}\)

c) \(C = \dfrac{{12\left| {x + 1} \right| + 32}}{{6\left| {x + 1} \right| + 8}}\)

Đặt \(\left| {x + 1} \right| = c\left( {c \ge 0} \right)\)

Khi đó \(C = \dfrac{{12c + 32}}{{6c + 8}} = \dfrac{{2\left( {6c + 8} \right) + 16}}{{6c + 8}} = 2 + \dfrac{{16}}{{6c + 8}}\)

Vì \(c \ge 0 \Rightarrow 6c \ge 0 \Rightarrow 6c + 8 \ge 8\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{16}}{{6c + 8}} \le \dfrac{{16}}{8}\\2 + \dfrac{{16}}{{6c + 8}} \le 2 + \dfrac{{16}}{8}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,C \le 4\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(c = 0 \Rightarrow \left| {x + 1} \right| = 0 \Rightarrow x = - 1\)

Vậy GTLN của \(C\) là \(4\) khi và chỉ khi \(x = - 1\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link