Cho phương trình bậc hai ẩn \(x,n\) là tham số: \(n{x^2} - 2\left( {n + 1} \right)x + n = 0\).a. Tìm \(n\)

Câu hỏi số 620430:

Vận dụng

Cho phương trình bậc hai ẩn \(x,n\) là tham số: \(n{x^2} - 2\left( {n + 1} \right)x + n = 0\).

a. Tìm \(n\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\).

b. Chứng minh rằng \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| \le 2\sqrt 3 \) với mọi số \(n\) nguyên dương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:620430

Giải chi tiết

Phương trình \(n{x^2} - 2\left( {n + 1} \right)x + n = 0\) (1) là phương trình bậc hai ẩn \(x\) nên \(n \ne 0\).

a) Biệt thức \({\rm{\Delta '}} = {(n + 1)^2} - {n^2} = 2n + 1\).

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\)

\( \Leftrightarrow {\rm{\Delta '}} > 0 \Leftrightarrow 2n + 1 > 0 \Leftrightarrow n > - \dfrac{1}{2}\).

Vậy với \(n > - \dfrac{1}{2}\) và \(n \ne 0\) thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\).

b) Do \(n\) nguyên dương \( \Rightarrow n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\), tức là \(n \ge 1\).

Từ câu a thấy với \(n \ge 1\), phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\).

Theo hệ thức Vi-ét, ta có: \({x_1} + {x_2} = \dfrac{{2\left( {n + 1} \right)}}{n} = 2 + \dfrac{2}{n}\) và \({x_1}{x_2} = 1\). \( \Rightarrow \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} = \sqrt {{{\left( {2 + \dfrac{2}{n}} \right)}^2} - 4} = \sqrt {\dfrac{4}{{{n^2}}} + \dfrac{8}{n}} \le \sqrt {4 + 8} = 2\sqrt 3 \).

Dấu " = " xảy ra khi \(n = 1\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link