Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(C(AC > BC),BC = 2\). Biết rằng đường tròn \(\left( O \right)\) qua ba
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(C(AC > BC),BC = 2\). Biết rằng đường tròn \(\left( O \right)\) qua ba điểm \(A,B,M(M\) là trung điểm của \(BC)\) cắt \(AC\) tại \(L\) với \(BL\) là tia phân giác của góc \(ABC\).
a) Chứng minh \(CA.CL = 2\).
b) Chứng minh \(AB.LC = BC.LM\).
c) Tính độ dài cạnh \(AB\).
Quảng cáo
a) Xét \(\Delta CML\) và \(\Delta CAB\) có
\(\angle {CLM} = \angle {CBA}\) (Tứ giác \(BMLA\) nội tiếp)
\(\angle {MCL} = \angle {ACB}\) (góc chung)
\( \Rightarrow \Delta CML \sim \Delta CAB\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{CM}}{{CA}} = \dfrac{{ML}}{{AB}} = \dfrac{{CL}}{{CB}}\). (1)
\( \Rightarrow CM.CM = CA.CL\)
Do \(M\) là trung điểm \(BC \Rightarrow CM = \dfrac{1}{2}BC\)
\( \Rightarrow CM.CB = \dfrac{1}{2}B{C^2} = 2\).
\( \Rightarrow CL.CA = CM.CB = 2\).
b) Từ (1) \( \Rightarrow AB.LC = BC.LM\).
c) \(BL\) là tia phân giác \(\angle {ABC} \Rightarrow \angle {MBL} = \angle {ABL}\)
Mà \(B,M,L,A\) cùng thuộc một đường tròn nên \(LM = LA\).
Từ câu \({\rm{a}} \Rightarrow LM = LA = AC - CL = AC - \dfrac{2}{{AC}}\).
Từ câu \({\rm{b}} \Rightarrow AB = \dfrac{{BC \cdot LM}}{{LC}} = \dfrac{{2 \cdot \left( {AC - \dfrac{2}{{AC}}} \right)}}{{\dfrac{2}{{AC}}}} = \dfrac{{\dfrac{2}{{AC}}\left( {A{C^2} - 2} \right)}}{{\dfrac{2}{{AC}}}} = A{C^2} - 2\).
\(\Delta ABC\) vuông tại \(C \Rightarrow A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} = A{C^2} + 4 = \left( {A{C^2} - 2} \right) + 6 = AB + 6\) (2).
Từ \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left( {AB - 3} \right)\left( {AB + 2} \right) = 0 \Rightarrow AB = 3\) (vì \(AB > 0)\).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
