Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(C(AC > BC),BC = 2\). Biết rằng đường tròn \(\left( O \right)\) qua ba
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(C(AC > BC),BC = 2\). Biết rằng đường tròn \(\left( O \right)\) qua ba điểm \(A,B,M(M\) là trung điểm của \(BC)\) cắt \(AC\) tại \(L\) với \(BL\) là tia phân giác của góc \(ABC\).
a) Chứng minh \(CA.CL = 2\).
b) Chứng minh \(AB.LC = BC.LM\).
c) Tính độ dài cạnh \(AB\).
Quảng cáo
a) Xét \(\Delta CML\) và \(\Delta CAB\) có
\(\angle {CLM} = \angle {CBA}\) (Tứ giác \(BMLA\) nội tiếp)
\(\angle {MCL} = \angle {ACB}\) (góc chung)
\( \Rightarrow \Delta CML \sim \Delta CAB\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{CM}}{{CA}} = \dfrac{{ML}}{{AB}} = \dfrac{{CL}}{{CB}}\). (1)
\( \Rightarrow CM.CM = CA.CL\)
Do \(M\) là trung điểm \(BC \Rightarrow CM = \dfrac{1}{2}BC\)
\( \Rightarrow CM.CB = \dfrac{1}{2}B{C^2} = 2\).
\( \Rightarrow CL.CA = CM.CB = 2\).
b) Từ (1) \( \Rightarrow AB.LC = BC.LM\).
c) \(BL\) là tia phân giác \(\angle {ABC} \Rightarrow \angle {MBL} = \angle {ABL}\)
Mà \(B,M,L,A\) cùng thuộc một đường tròn nên \(LM = LA\).
Từ câu \({\rm{a}} \Rightarrow LM = LA = AC - CL = AC - \dfrac{2}{{AC}}\).
Từ câu \({\rm{b}} \Rightarrow AB = \dfrac{{BC \cdot LM}}{{LC}} = \dfrac{{2 \cdot \left( {AC - \dfrac{2}{{AC}}} \right)}}{{\dfrac{2}{{AC}}}} = \dfrac{{\dfrac{2}{{AC}}\left( {A{C^2} - 2} \right)}}{{\dfrac{2}{{AC}}}} = A{C^2} - 2\).
\(\Delta ABC\) vuông tại \(C \Rightarrow A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} = A{C^2} + 4 = \left( {A{C^2} - 2} \right) + 6 = AB + 6\) (2).
Từ \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left( {AB - 3} \right)\left( {AB + 2} \right) = 0 \Rightarrow AB = 3\) (vì \(AB > 0)\).
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
