Cho tam giác nhọn \(ABC\) không cân \((AB < AC)\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\), ba

Câu hỏi số 620445:

Vận dụng cao

Cho tam giác nhọn \(ABC\) không cân \((AB < AC)\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\), ba đường cao \(AD,BE,CF\left( {D \in BC,E \in AC,F \in AB} \right)\) của tam giác \(ABC\) cắt nhau tại \(H\). Gọi \(I,M\) lần lượt là trung điểm của \(AH\) và \(BC\). Đường tròn ngoại tiếp tam giác \(AEF\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm \(K(K\) khác \(A)\).

a) Chứng minh rằng tứ giác \(DMEF\) nội tiếp.

b) Chứng minh rằng tứ giác \(IOMK\) là hình thang cân.

c) Chứng minh rằng \(KF.HE = KE.HF\).

d) Tiếp tuyến tại \(A\) và \(K\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(AEF\) cắt nhau tại \(T\). Chứng minh rằng \(TM,AH,EF\) dồng quy.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:620445

Giải chi tiết

a) \(\Delta MBE\) cân tại \(M \Rightarrow \angle {EMC} = 2\angle {MBE}\).

\(BFHD,BFEC\) là các tứ giác nội tiếp nên

\(\angle {DFE} = \angle {DFH} + \angle {CFE} = \angle {DBH} + \angle {CBE} = 2\angle {DBH}\).

Từ (1) và \(\left( 2 \right) \Rightarrow DMEF\) là tứ giác nội tiếp.

b) \(\angle {AEH} = \angle {AFH} = {90^ \circ }\)

\(\Rightarrow AH\) là đường kính của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta AEF\).

\( \Rightarrow \angle {AKH} = {90^ \circ }\).

Vẽ đường kính \(AA'\) của đường tròn \(\left( O \right)\)

ta có \(\angle {AKA'} = {90^ \circ }\).

Suy ra \(K,H,A'\) thẳng hàng.

Dễ chứng minh \(BHCA'\) là hình bình hành

\( \Rightarrow M\) là trung điểm của \(A'H\).

Dễ chứng minh \(IOMH\) là hình bình hành

\( \Rightarrow OI\parallel KM\) và \(OM = IH = IK\).

Nhận thấy \(IK\) cắt \(IH\) và \(IH\parallel OM \Rightarrow IK\) không song song với \(OM\).

Suy ra \(OIKM\) là hình thang cân.

c) Vì \(\Delta MBE\) cân tại \(M \Rightarrow \angle {MEB} = \angle {MBE}\)

mà \(\angle {MBE} = \angle {DAC}(\) cùng phụ với \(\angle {ACB}\) )

và \(\angle {HAE} = \angle {HKE}(\) do \(AEHF\) là tứ giác nội tiếp \()\)

Suy ra \(\angle {MEH} = \angle {MKE}\).

Suy ra \(\Delta MEH \sim \Delta MKE\left( {{\rm{\;g}} \cdot {\rm{g}}} \right) \)

\(\Rightarrow \dfrac{{EH}}{{EK}} = \dfrac{{ME}}{{MK}}\).

Tương tự \(\dfrac{{FH}}{{FK}} = \dfrac{{MF}}{{MK}}\),

mà \(ME = MF\) nên \(\dfrac{{EH}}{{EK}} = \dfrac{{FH}}{{FK}}\)

\( \Rightarrow EH \cdot FK = EK \cdot FH\).

c) Gọi \(P\) là giao diểm của \(AK\) với \(BC\).

Ta có \(\angle AFK = \angle AHK = \angle APD\), suy ra tứ giác \(HKPD\) nội tiếp.

Do đó \(\angle KFP = \angle KBP = \angle KAC = \angle KAE = {180^ \circ } - \angle KFE\).

Suy ra \(E,F,P\) thẳng hàng.

Ta có \(\angle TIK = \angle AHK = \angle DPK\),

từ đó \(\Delta KTI \sim \Delta KPD\).

Sau đó suy ra \(\Delta KPI \sim \Delta KMT\),

vậy nên \(\angle PIK = \angle MTK\).

Mà \(IK \bot TK\) nên \(PI \bot MT\).

Xét \(\Delta IMP\) có \(EF \bot IM,TM \bot IP,ID \bot MP\)

nên \(MT,EF,AD\) dồng quy.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link