a) Theo kế hoạch một công nhân phải làm 54 sản phẩm trong một khoảng thời gian dự định. Do

Câu hỏi số 620444:

Vận dụng

a) Theo kế hoạch một công nhân phải làm 54 sản phẩm trong một khoảng thời gian dự định. Do yêu cầu đột xuất, người đó phải làm 68 sản phẩm nên mỗi giờ người đó đã làm tăng thêm 3 sản phẩm vì thế công việc hoàn thành sớm hơn so với dự định là 20 phút. Hỏi theo dự định mỗi giờ người đó phải làm bao nhiêu sản phẩm, biết rằng mỗi giờ người đó làm được không quá 12 sản phẩm.

b) Cho phương trình \({x^2} - \left( {m - 1} \right)x + m - 3 = 0{\rm{\;}}\left( 1 \right)\), (với \(m\) là tham số). Tìm \(m\) để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 5{x_1}{x_2} + 2\sqrt {2 - {x_1}{x_2}} \).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:620444

Giải chi tiết

a) Đổi 20 phút \( = \dfrac{1}{3}\) giờ.

Gọi số sản phẩm mỗi giờ người đó phải làm theo kế hoạch là \(x\) (sản phẩm), điều kiện: \(x \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}},x \le 12\).

Thời gian dự định người đó hoàn thành công việc là: \(\dfrac{{54}}{x}\) (giờ).

Thực tế mỗi giờ người đó làm được: \(x + 3\) (sản phẩm).

Thời gian thực tế người đó hoàn thành công việc là: \(\dfrac{{68}}{{x + 3}}\) (giờ).

Theo dề bài ta có phương trình:

\(\begin{array}{*{20}{r}}{}&{\dfrac{{54}}{x} - \dfrac{{68}}{{x + 3}} = \dfrac{1}{3}}\\ \Leftrightarrow &{54 \cdot 3 \cdot \left( {x + 3} \right) - 68 \cdot 3 \cdot x = x \cdot \left( {x + 3} \right)}\\ \Leftrightarrow &{{x^2} + 45x - 486 = 0}\\ \Leftrightarrow &{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 9\left( {tm} \right){\rm{\;}}}\\{x = - 54{\rm{\;}}\left( {tm} \right){\rm{\;}}.}\end{array}} \right.}\end{array}\)

Vậy theo kế hoạch mỗi giờ người đó phải làm 9 sản phẩm.

\(\begin{array}{*{20}{r}}{}&{{x^2} - \left( {m - 1} \right)x + m - 3 = 0}\\{}&{{\rm{\Delta }} = {{(m - 1)}^2} - 4\left( {m - 3} \right)}\\{}&{\; = {m^2} - 6m + 13}\\{}&{\; = {{(m - 3)}^2} + 4 > 0,\forall m{\rm{.\;}}}\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) với mọi \(m\). Áp dụng định lý Vi-et: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{r}}{{x_1} + {x_2} = m - 1}\\{{x_1} \cdot {x_2} = m - 3.}\end{array}} \right.\)

Ta có: \(x_1^2 + x_2^2 = 5{x_1}{x_2} + 2\sqrt {2 - {x_1}{x_2}} \)

Để (4) xác định \( \Leftrightarrow 2 - {x_1}{x_2} \ge 0 \Leftrightarrow 2 - \left( {m - 3} \right) \ge 0 \Leftrightarrow m \le 5\).

(4) \( \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 5{x_1}{x_2} + 2\sqrt {2 - {x_1}{x_2}} \)

\( \Leftrightarrow {(m - 1)^2} - 2\left( {m - 3} \right) = 5\left( {m - 3} \right) + 2\sqrt {2 - \left( {m - 3} \right)} \)

\( \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 - 2m + 6 = 5m - 15 + 2\sqrt {5 - m} \)

\( \Leftrightarrow {m^2} - 9m + 22 = 2\sqrt {5 - m} \).

Đặt \(t = \sqrt {5 - m} ,\left( {t \ge 0} \right) \Rightarrow {t^2} = 5 - m \Rightarrow m = 5 - {t^2}\).

(6) \( \Leftrightarrow {\left( {5 - {t^2}} \right)^2} - 9\left( {5 - {t^2}} \right) + 22 = 2t\)

\( \Leftrightarrow {t^4} - {t^2} - 2t + 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow {(t - 1)^2} \cdot \left( {{t^2} + 2t + 2} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow {(t - 1)^2} \cdot \left[ {{{(t + 1)}^2} + 1} \right] = 0\)

\( \Leftrightarrow t - 1 = 0\) (Vì \({(t + 1)^2} + 1 > 0,\forall t \ge 0\))

\( \Leftrightarrow t = 1{\rm{\;}}\) (thỏa mãn).

Với \(t = 1 \Rightarrow m = 5 - {1^2} = 4{\rm{\;}}\) (thỏa mãn (5)).

Vậy \(m = 4\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link