Cho ba số thực dương \(x,y,z\) thỏa mãn \(x + y + z = 3\). Tính giá trị nhỏ nhất của biểu

Câu hỏi số 620558:

Vận dụng cao

Cho ba số thực dương \(x,y,z\) thỏa mãn \(x + y + z = 3\). Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(P = \dfrac{{{x^2}}}{{\sqrt {15{x^2} + 26xy + 8{y^2}} }} + \dfrac{{{y^2}}}{{\sqrt {15{y^2} + 26yz + 8{z^2}} }} + \dfrac{{{z^2}}}{{\sqrt {15{z^2} + 26zx + 8{x^2}} }}.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:620558

Giải chi tiết

Ta có:

\(\sqrt {15{x^2} + 26xy + 8{y^2}} = \sqrt {{{(4x + 3y)}^2} - {{(x - y)}^2}} \le \sqrt {{{(4x + 3y)}^2}} = 4x + 3y\)

\( \Rightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{\sqrt {15{x^2} + 26xy + 8{y^2}} }} \ge \dfrac{{{x^2}}}{{4x + 3y}}\)

Chứng minh tương tự, ta có:

\(\dfrac{{{y^2}}}{{\sqrt {15{y^2} + 26yz + 8{z^2}} }} \ge \dfrac{{{y^2}}}{{4y + 3z}}{\rm{ v\`a }}\dfrac{{{z^2}}}{{\sqrt {15{z^2} + 26zx + 8{x^2}} }} \ge \dfrac{{{z^2}}}{{4z + 3x}}\)

Suy ra

\(P \ge \dfrac{{{x^2}}}{{4x + 3y}} + \dfrac{{{y^2}}}{{4y + 3z}} + \dfrac{{{z^2}}}{{4z + 3x}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

\(\quad \dfrac{{{x^2}}}{{4x + 3y}} + \dfrac{{4x + 3y}}{{49}} \ge 2\sqrt {\dfrac{{{x^2}}}{{4x + 3y}} \cdot \dfrac{{4x + 3y}}{{49}}} = \dfrac{{2x}}{7}\)

Tương tự

\(\dfrac{{{y^2}}}{{4y + 3z}} + \dfrac{{4y + 3z}}{{49}} \ge \dfrac{{2y}}{7}{\rm{ v\`a }}\dfrac{{{z^2}}}{{4z + 3x}} + \dfrac{{4z + 3x}}{{49}} \ge \dfrac{{2z}}{7}\)

Suy ra

\(P + \dfrac{{x + y + z}}{7} \ge \dfrac{{2(x + y + z)}}{7} \Leftrightarrow P \ge \dfrac{{x + y + z}}{7}\)

Mà \(x + y + z = 3\) suy ra \(P \ge \dfrac{3}{7}\). Vậy GTLN của \(P\) bằng \(\dfrac{3}{7}\) khi \(x = y = z = 1\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link