Cho đường tròn \((O)\) và điểm \(M\) nằm ngoài đường tròn \((O)\). Từ \(M\) kẻ 2 tiếp tuyến

Câu hỏi số 620557:

Vận dụng

Cho đường tròn \((O)\) và điểm \(M\) nằm ngoài đường tròn \((O)\). Từ \(M\) kẻ 2 tiếp tuyến MA, MB đến \((O)\) (\(A,B\)là tiếp điểm). Kẻ cát tuyến \(MNP(MN < MP)\). \(K\) là trung điểm của NP

a) Chứng minh A, K, O, B cùng thuộc 1 đường tròn và xác định tâm đường tròn đó

b) BA cắt OK tại \(E\) và MP cắt AB tại \(F\).

Chứng minh KF là phân giác trong của \(\angle {AKB}\) từ đó suy ra \(EA \cdot FB = EB.FA\).

c) Chứng minh khi cát tuyến MNP thay đổi thì trọng tâm tam giác ANP luôn thuộc một đường tròn cố định

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:620557

Giải chi tiết

\(\angle {MKO} = {90^\circ }\) (K là trung điểm \(NP)\)

\(\angle {MAO} = {90^\circ }(AM\) là tiếp tuyến của \((O))\)

\(\angle {MBO} = {90^\circ }(BM\) là tiếp tuyến của \((O))\)

Suy ra A, B, K cùng nhìn M O dưới một góc vuông

Suy ra A, B, K, O, M cùng nằm trên một đường tròn đường kính O M

Suy ra A, B, K, O cùng nằm trên một đường tròn đường kính O M có tâm là trung điểm O M

b) Ta có \(\angle {AKM} = \angle {AOM}\)(tứ giác AKOM nội tiếp)

\(\angle {BKM} = \angle {BOM}\) (tứ giác BOKM nội tiếp)

\(\angle {BOM} = \angle {AOM}\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

\( \Rightarrow \angle {AKM} = \angle {BKM}\)

suy ra K F là phân giác trong của \(\angle {AKB}\).

Ta có \(KE \bot KF\) suy ra KE là phân giác ngoài của góc \(\angle {AKB}\).

Theo tính chất đường phân giác trong và phân giác ngoài của tam giác ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{EA}}{{EB}} = \dfrac{{KA}}{{KB}}}\\{\dfrac{{FA}}{{FB}} = \dfrac{{KA}}{{KB}}}\end{array} \Rightarrow \dfrac{{EA}}{{EB}} = \dfrac{{FA}}{{FB}} \Rightarrow EA \cdot FB = EB \cdot FA} \right.\)

c) Gọi I là trung điểm OM, G là trọng tâm \(\Delta ANP\) và T thuộc \(AJ\) sao cho \(AT = \dfrac{2}{3}AJ\)

Ta có \(M,O,A\) cố định nên \(J,T\) cố định

Ta có \(\dfrac{{AG}}{{AK}} = \dfrac{{AT}}{{AJ}} \Rightarrow GT\parallel KJ \Rightarrow \dfrac{{GT}}{{KJ}} = \dfrac{2}{3}\)

Ta có \(KJ\) là đường trung tuyến tam giác vuông \(OKM\) nên \(KJ = \dfrac{1}{2}OM\)

Suy ra \(GT = \dfrac{1}{3}OM\)

Suy ra G thuộc đường tròn cố định tâm T và có bán kính bằng \(\dfrac{1}{3}OM\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link