Cho \(f\left( x \right) = 2{\sin ^2}x - \sin x + 2\) và \(g\left( x \right) = \sin x + 2\cos x\). Phương trình

Câu hỏi số 621151:

Vận dụng

Cho \(f\left( x \right) = 2{\sin ^2}x - \sin x + 2\) và \(g\left( x \right) = \sin x + 2\cos x\). Phương trình \(f'\left( x \right) + g'\left( x \right) = 0\) có tất cả bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\)?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:621151

Phương pháp giải

\(\left( {\sin x} \right)' = \cos x,\,\,\left( {\cos x} \right)' = - \sin x\)

Giải phương trình lượng giác bằng cách đưa về dạng tích, sau đó giải phương trình lượng giác cơ bản.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = 2{\sin ^2}x - \sin x + 2\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = 2.2\sin x.\cos x - \cos x = 4\sin x\cos x - \cos x\\g\left( x \right) = \sin x + 2\cos x\\ \Rightarrow g'\left( x \right) = \cos x - 2\sin x\end{array}\)

Giải \(f'\left( x \right) + g'\left( x \right) = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4\sin x\cos x - \cos x + \cos x - 2\sin x = 0\\ \Leftrightarrow 4\sin x\cos x - 2\sin x = 0\\ \Leftrightarrow 2\sin x\left( {2\cos x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\\\cos x = \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \pm \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

+ \(0 \le k\pi \le \pi \Leftrightarrow 0 \le k \le 1 \Rightarrow k \in \left\{ {0;1} \right\} \Rightarrow x \in \left\{ {0;\pi } \right\}\)

+ \(0 \le \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \le \pi \Leftrightarrow 0 \le \dfrac{1}{3} + 2k \le 1 \Leftrightarrow - \dfrac{1}{6} \le k \le \dfrac{1}{3} \Rightarrow k = 0 \Rightarrow x = \dfrac{\pi }{3}\)

+ \(0 \le - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \le \pi \Leftrightarrow 0 \le - \dfrac{1}{3} + 2k \le 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{6} \le k \le \dfrac{2}{3} \Rightarrow k \in \emptyset \).

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm thoả mãn.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.