Cho hàm số \(y = {\sin ^2}x + x\). Tính tổng các nghiệm của phương trình \(y' + 2\left| {\sin x + \cos x}

Câu hỏi số 621152:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = {\sin ^2}x + x\). Tính tổng các nghiệm của phương trình \(y' + 2\left| {\sin x + \cos x} \right| = 3\) trên khoảng \(\left( {0;2\pi } \right)\).

A. \(2\pi \).

B. \(4\pi \).

C. \(3\pi \).

D. \(\pi \).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:621152

Phương pháp giải

\(\left( {{u^n}} \right)' = n{u^{n - 1}}.\left( {u'} \right)\)

Biến đổi \(\left| {\sin x + \cos x} \right| = \sqrt {{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2}} = \sqrt {1 + \sin 2x} \)

Đặt ẩn phụ giải phương trình lượng giác.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}y = {\sin ^2}x + x\\ \Rightarrow y' = 2\sin x\cos x + 1\end{array}\)

Giải \(y' + 2\left| {\sin x + \cos x} \right| = 3\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\sin x\cos x + 1 + 2\left| {\sin x + \cos x} \right| = 3\\ \Leftrightarrow 2\sin x\cos x + 1 + 2\sqrt {{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2}} = 3\\ \Leftrightarrow 2\sin x\cos x + 1 + 2\sqrt {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x + 2\sin x\cos x} = 3\\ \Leftrightarrow \left( {\sin 2x + 1} \right) + 2\sqrt {1 + \sin 2x} = 3\end{array}\)

Đặt \(t = \sqrt {\sin 2x + 1} \,\,\left( {0 \le t \le \sqrt 2 } \right)\)

\( \Rightarrow {t^2} + 2t = 3 \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = - 3\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

Với \(t = 1 \Rightarrow \sqrt {\sin 2x + 1} = 1 \Leftrightarrow \sin 2x + 1 = 1 \Leftrightarrow \sin 2x = 0\)

\( \Leftrightarrow 2x = k\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{{k\pi }}{2}\).

+ \(0 < \dfrac{{k\pi }}{2} < 2\pi \Leftrightarrow 0 < k < 4 \Rightarrow k \in \left\{ {1;2;3} \right\} \Rightarrow x \in \left\{ {\dfrac{\pi }{2};\pi ;\dfrac{{3\pi }}{2}} \right\}\).

Tổng các nghiệm: \(\dfrac{\pi }{2} + \pi + \dfrac{{3\pi }}{2} = 3\pi .\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.