Cho biểu thức \(P = \dfrac{{2x + 3}}{{\sqrt x }} + \dfrac{{x\sqrt x - 1}}{{x - \sqrt x }} - \dfrac{{{x^2} +

Câu hỏi số 623223:

Thông hiểu

Cho biểu thức \(P = \dfrac{{2x + 3}}{{\sqrt x }} + \dfrac{{x\sqrt x - 1}}{{x - \sqrt x }} - \dfrac{{{x^2} + \sqrt x }}{{x\sqrt x + x}}\) với \(x > 0,x \ne 1\).

a) Rút gọn biểu thức \(P\).

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:623223

Phương pháp giải

Rút gọn phân thức bằng cách quy đồng.

Tìm GTNN bằng cách sử dụng BĐT cosi.

Giải chi tiết

Cho biểu thức \(P = \dfrac{{2x + 3}}{{\sqrt x }} + \dfrac{{x\sqrt x - 1}}{{x - \sqrt x }} - \dfrac{{{x^2} + \sqrt x }}{{x\sqrt x + x}}\) với \(x > 0;x \ne 1\)

Rút gọn biểu thức

\(P = \dfrac{{2x + 3}}{{\sqrt x }} + \dfrac{{x\sqrt x - 1}}{{x - \sqrt x }} - \dfrac{{{x^2} + \sqrt x }}{{x\sqrt x + x}}\)

\( = \dfrac{{2x + 3}}{{\sqrt x }} + \dfrac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}{{x\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)

\( = \dfrac{{2x + 3}}{{\sqrt x }} + \dfrac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x }} - \dfrac{{x - \sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\)

\( = \dfrac{{2x + 2\sqrt x + 3}}{{\sqrt x }}\)

Tim giá trị nhỏ nhất của \(P\)

\(P = 2\sqrt x + \dfrac{3}{{\sqrt x }} + 2 \ge 2\sqrt {2\sqrt x \cdot \dfrac{3}{{\sqrt x }}} + 2\)\( = 2\sqrt 6 + 2\)

Vây GTNN của \(P = 2\sqrt 6 + 2\)

khi và chi khi \(2\sqrt x - \dfrac{3}{{\sqrt x }} \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{2}\) (thỏa mãn điều kiện)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link