Một số nguyên dương được gọi là "số đặc biệt" nếu nó thỏa mãn đồng thờicác điều

Câu hỏi số 620677:

Vận dụng cao

Một số nguyên dương được gọi là "số đặc biệt" nếu nó thỏa mãn đồng thời

các điều kiện sau:

i) Các chữ số của nó đều khác 0 .

ii) Số đó chia hết cho 12 và nếu đổi chỗ các chữ số của nó một cách tùy ý, ta vẫn thu được một số chia hết cho 12

a) Chứng minh rằng một "số đặc biệt" chỉ có thể chứa các chữ số 4 và 8 .

b) Có tất cả bao nhiêu "số đặc biệt" có 5 chữ số?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:620677

Giải chi tiết

a) Vì "số đặc biệt" chia hết cho 12 nên nó sẽ chia hết cho 3 và 4.

Ta thấy rằng một số khi đổi các chữ số cho nhau mà chia hết cho 4 thì các chữ số ấy phải là

số chẵn, mà "số đặc biệt" có các chữ số \( \ne 0\) nên các chữ số của nó thuộc \(\left\{ {2,4,6,8} \right\}\) (1)

Từ các số \(2,4,6,8\) ta lập các số có hai chữ số sao cho khi đổi chỗ các chữ số cho nhau thì chúng vẫn chia hết cho 4, ta thấy chỉ lập được duy nhất một số thoả mãn là số 48. (2)

Từ (1) và (2) suy ra ta chỉ lập được "số đặc biệt từ" số 4 và 8 (đpcm).

b) Ta thấy "số đặc biệt" chỉ chứa số 4 và 8 nên ta đặt z là số chữ số 4 còn y là số chữ số 8 để

tạo nên "số đặc biệt" có năm chữ số. \(x,y \in {\mathbb{Z}^ + },1 \le x,y \le 4\)

Đồng thời, ta suy ra được phương trình nghiệm nguyên: \(x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} = 5.\)

Cũng từ phương trình trên, ta tìm được các cặp số nguyên \(\left( {x,y} \right)\) là \(\left( {1,{\rm{ }}4} \right);\left( {2,3} \right);\left( {3,2} \right);\left( {4,1} \right).\)

Vì "số đặc biệt" chia hết cho 3 nên tổng các chữ số của chúng cũng chia hết cho 3 hay:

\(\left( {4x + 8y} \right) \vdots 3 \Rightarrow \left( {3x + 9y} \right) + \left( {x - y} \right) \vdots 3\)

Mà \(\left( {3x + 9y} \right) \vdots 3\) nên \(x - y \vdots 3\).

Từ đây dễ thu được cặp \(\left( {x,y} \right)\) duy nhất là (1,4) và (4,1).

Ta xét các trường hợp.

Trường hợp 1. Với \(x = 1,y = 4\) thì "số đặc biệt" được tạo từ một số 4 và bốn số 8, các "số đặc biệt" đó là: 48888; 84888; 88488; 88848; 88884 (5 số).

Trường hợp 2. Với \(x = 4,y = 1\) thì "số đặc biệt" được tạo từ một số 8 và bốn số 4, các "số đặc biệt" đó là: 44448; 44484; 44844; 48444; 84444 (5 số).

Từ 2 trường hợp trên, số các số cần tìm là: 5 + 5 = 10 (số).

Vậy ta tìm được tất cả 10 "số đặc biệt" có năm chữ số.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link