a) Cho \(a,b\) là các số thực dương thỏa mãn \(a + b = 2\).Chứng minh: \(\dfrac{{{a^2}}}{{b + 1}} +

Câu hỏi số 623228:

Vận dụng cao

a) Cho \(a,b\) là các số thực dương thỏa mãn \(a + b = 2\).

Chứng minh: \(\dfrac{{{a^2}}}{{b + 1}} + \dfrac{{{b^2}}}{{a + 1}} \ge 1\).

b) Cho \(a,b,c\) là các số thực dương thỏa mãn \(\sqrt {ab + a + b + 1} + c = 6\).

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{2a + 1}}{{a + 1}} + \dfrac{{2b + 1}}{{b + 1}} + \dfrac{{2c + 2}}{{c + 2}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:623228

Phương pháp giải

Sử dụng BĐT Côsi.

Giải chi tiết

a) Cho các số thực dương \(a,b\) thỏa mãn \(a + b = 2\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{{{a^2}}}{{b + 1}} + \dfrac{{{b^2}}}{{a + 1}} \ge 1\)

Xét BĐT \(\dfrac{{{a^2}}}{x} + \dfrac{{{b^2}}}{y} \ge \dfrac{{{{(a + b)}^2}}}{{x + y}}\) với \(x,y > 0\).

Biến đổi tương đương \({a^2}{y^2} + {b^2}{x^2} \ge 2abxy \Leftrightarrow {(ay - bx)^2} \ge 0\) (đúng)

Khi đó \(\dfrac{{{a^2}}}{{b + 1}} + \dfrac{{{b^2}}}{{a + 1}} \ge \dfrac{{{{(a + b)}^2}}}{{a + b + 2}} = 1\) (điều phải chứng minh).

a) Cho \(a,b,c\) là các số thực dương thỏa mãn \(\sqrt {ab + a + b + 1} + c = 6\).

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{2a + 1}}{{a + 1}} + \dfrac{{2b + 1}}{{b + 1}} + \dfrac{{2c + 2}}{{c + 2}}\).

Ta có \(P = 6 - \dfrac{1}{{a + 1}} - \dfrac{1}{{b + 1}} - \dfrac{2}{{c + 2}}\).

Theo BĐT Cauchy ta có \(\dfrac{1}{{a + 1}} + \dfrac{1}{{b + 1}} \ge \dfrac{2}{{\sqrt {\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)} }} = \dfrac{2}{{6 - c}}\)

Khi đó \(P \le 6 - \dfrac{2}{{6 - c}} - \dfrac{2}{{c + 2}}\).

Ta có \(\dfrac{1}{{6 - c}} + \dfrac{1}{{c + 2}} \ge \dfrac{4}{{6 - c + c + 2}} = \dfrac{1}{2}(\) do \(0 < c < 6)\). Suy ra \(P \le 5\).

D ng xảy ra khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + 1 = b + 1}\\{6 - c = c + 2}\\{\sqrt {\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)} + c = 6}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = b = 3}\\{c = 2}\end{array}} \right.} \right.\).

Vậy giá trị lớn nhất của \(P\) bằng 5 đạt được khi \(a = b = 3,c = 2\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link