a) Cho \(a,b\) là các số thực dương thỏa mãn \(a + b = 2\).Chứng minh: \(\dfrac{{{a^2}}}{{b + 1}} +

Câu hỏi số 623228:

Vận dụng cao

a) Cho \(a,b\) là các số thực dương thỏa mãn \(a + b = 2\).

Chứng minh: \(\dfrac{{{a^2}}}{{b + 1}} + \dfrac{{{b^2}}}{{a + 1}} \ge 1\).

b) Cho \(a,b,c\) là các số thực dương thỏa mãn \(\sqrt {ab + a + b + 1} + c = 6\).

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{2a + 1}}{{a + 1}} + \dfrac{{2b + 1}}{{b + 1}} + \dfrac{{2c + 2}}{{c + 2}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:623228

Phương pháp giải

Sử dụng BĐT Côsi.

Giải chi tiết

a) Cho các số thực dương \(a,b\) thỏa mãn \(a + b = 2\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{{{a^2}}}{{b + 1}} + \dfrac{{{b^2}}}{{a + 1}} \ge 1\)

Xét BĐT \(\dfrac{{{a^2}}}{x} + \dfrac{{{b^2}}}{y} \ge \dfrac{{{{(a + b)}^2}}}{{x + y}}\) với \(x,y > 0\).

Biến đổi tương đương \({a^2}{y^2} + {b^2}{x^2} \ge 2abxy \Leftrightarrow {(ay - bx)^2} \ge 0\) (đúng)

Khi đó \(\dfrac{{{a^2}}}{{b + 1}} + \dfrac{{{b^2}}}{{a + 1}} \ge \dfrac{{{{(a + b)}^2}}}{{a + b + 2}} = 1\) (điều phải chứng minh).

a) Cho \(a,b,c\) là các số thực dương thỏa mãn \(\sqrt {ab + a + b + 1} + c = 6\).

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{2a + 1}}{{a + 1}} + \dfrac{{2b + 1}}{{b + 1}} + \dfrac{{2c + 2}}{{c + 2}}\).

Ta có \(P = 6 - \dfrac{1}{{a + 1}} - \dfrac{1}{{b + 1}} - \dfrac{2}{{c + 2}}\).

Theo BĐT Cauchy ta có \(\dfrac{1}{{a + 1}} + \dfrac{1}{{b + 1}} \ge \dfrac{2}{{\sqrt {\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)} }} = \dfrac{2}{{6 - c}}\)

Khi đó \(P \le 6 - \dfrac{2}{{6 - c}} - \dfrac{2}{{c + 2}}\).

Ta có \(\dfrac{1}{{6 - c}} + \dfrac{1}{{c + 2}} \ge \dfrac{4}{{6 - c + c + 2}} = \dfrac{1}{2}(\) do \(0 < c < 6)\). Suy ra \(P \le 5\).

D ng xảy ra khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + 1 = b + 1}\\{6 - c = c + 2}\\{\sqrt {\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)} + c = 6}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = b = 3}\\{c = 2}\end{array}} \right.} \right.\).

Vậy giá trị lớn nhất của \(P\) bằng 5 đạt được khi \(a = b = 3,c = 2\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link