a) Giải phương trình nghiệm nguyên: \({x^2} - 6{y^2} + xy + 2y - x - 7 = 0\).b) Cho \(x,y\) là các số

Câu hỏi số 623227:

Vận dụng cao

a) Giải phương trình nghiệm nguyên: \({x^2} - 6{y^2} + xy + 2y - x - 7 = 0\).

b) Cho \(x,y\) là các số nguyên thỏa mãn \({x^2} - 2021{y^2} + 2022\) chia hết cho \(xy\). Chứng minh rằng \(x,y\) là các số lẻ và nguyên tố cùng nhau.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:623227

Phương pháp giải

a) Phân tích thành nhân tử và xét các trường hợp nghiệm nguyên.

b) Chứng minh bằng phản chứng.

Giải chi tiết

a) Giải phương nghiệm nguyên \({x^2} - 6{y^2} + xy + 2y - x - 7 = 0\).

\({x^2} - 6{y^2} + xy + 2y - x - 7 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {x - 2y} \right)\left( {x + 3y} \right) + 2y - x - 7 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {x - 2y} \right)\left( {x + 3y - 1} \right) = 7\)

Từ đó suy ra \(x - 2y\) là ước của 7 , tập các giá trị ước của 7 là \(\left\{ { - 7; - 1;1;7} \right\}\).Ta có các trường hợp sau.

\({\rm{*}}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 2y = - 7}\\{x + 3y - 1 = - 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 2y = - 7}\\{5y = 7}\end{array}\left( {vn} \right)} \right.} \right.\)

\({\rm{*}}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 2y = - 1}\\{x + 3y - 1 = - 7}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 2y = - 1}\\{5y = - 5}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 3}\\{y = - 1}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)(nhận)

\({\rm{*}}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 2y = 1}\\{x + 3y - 1 = 7}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 2y = 1}\\{5y = 7}\end{array}\left( {{\rm{vn}}} \right)} \right.} \right.\)
\({\rm{*}}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 2y = 7}\\{x + 3y - 1 = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 2y = 7}\\{5y = - 5}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5}\\{y = - 1}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)(nhận)

Vậy các cặp nguyên \(\left( {x,y} \right)\) thỏa mãn phương trình là \(\left( { - 3; - 1} \right),\left( {5; - 1} \right)\).

b) Cho \(x,y\) nguyên và thỏa mãn \({x^2} - 2021{y^2} + 2022\) chia hết cho \(xy\). Chứng minh rằ \(x,y\) là hai số lẻ và nguyên tố cùng nhau.

Nếu \(x,y\) là hai số chẵn thì \({x^2} - 2021{y^2} + 2022\) không chia hết cho 4 và \(xy\) chia hết cho 4 (vô lý).

Nếu \(x,y\) có một số chẵn, một số lẻ thì \({x^2} - 2021{y^2} + 2022\) là số lẻ và \(xy\) là số chẵn (vô lý).

Vậy \(x,y\) là các số lè.

*Giả sử \(\left( {x,y} \right) = d\) suy ra \({x^2} - 2021{y^2}\) và \(xy\) chia hết cho \({d^2}\).

Từ giả thiết suy ra 2022 chia hết cho \({d^2}\).

Lại do \(2022 = 2.3.337\) nên \(d \in \left\{ {1,2,3,337} \right\}\).

Nếu \(d > 1\) thì 2022 chia hết cho hoặc \(4,9,{337^2}\) (vô lý).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link