Cho tam giác điều \({\rm{ABC}}\) cạnh \({\rm{a}}\), đường cao \({\rm{AH}}\) ( \({\rm{H}}\) thuộc

Câu hỏi số 623236:

Vận dụng

Cho tam giác điều \({\rm{ABC}}\) cạnh \({\rm{a}}\), đường cao \({\rm{AH}}\) ( \({\rm{H}}\) thuộc \({\rm{BC}}),{\rm{M}}\) là điểm bất kỳ trên cạnh \({\rm{BC}}\), vẽ \({\rm{ME}}\) vuông góc \({\rm{AB}}\) tại \({\rm{E}}\) và \({\rm{MF}}\) vuông góc \({\rm{AC}}\) tại \({\rm{F}}\). Gọi \({\rm{O}}\) là trung điểm của \({\rm{AM}}\).

a) Tứ giác OEHF là hình gì?

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tứ giác OEHF theo a khi \({\rm{M}}\) di động trên cạnh BC.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:623236

Giải chi tiết

a) Ta có \(\widehat {{\rm{AEM}}} = \widehat {{\rm{AHM}}} = \widehat {{\rm{AFM}}} = {90^ \circ }\) suy ra 5 điểm \({\rm{A}},{\rm{E}},{\rm{H}},{\rm{F}},{\rm{M}}\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \({\rm{AM}}\)

Do \(\widehat {{\rm{EAM}}} = \widehat {{\rm{FAH}}} = {30^ \circ }\) suy ra \(\widehat {{\rm{EOH}}} = \widehat {{\rm{FOH}}} = {60^ \circ }\). Vậy OEHF là hình thoi

b) \({{\rm{S}}_{{\rm{OEHF}}}} = \dfrac{1}{2}{\rm{EF}}.{\rm{OH}}\)

Mà \({\rm{FE}} = {\rm{OH}}\sqrt 3 \) và \({\rm{OH}} = \dfrac{1}{2}{\rm{AM}} \ge \dfrac{1}{2}{\rm{AH}} = \dfrac{{{\rm{a}}\sqrt 3 }}{4};{\rm{AH}} = \dfrac{{{\rm{AB}}\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{{\rm{a}}\sqrt 3 }}{2}\);

Suy ra \({{\rm{S}}_{{\rm{OEHF}}}} = \dfrac{1}{2}{\rm{EF}} \cdot {\rm{OH}} = \dfrac{1}{2}\sqrt 3 {\rm{O}}{{\rm{H}}^2} = \dfrac{1}{8}\sqrt 3 {\rm{A}}{{\rm{M}}^2} \ge \dfrac{1}{8}\sqrt 3 {\rm{A}}{{\rm{H}}^2} = \dfrac{1}{8}\sqrt 3 {\left( {\dfrac{{{\rm{a}}\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} = \dfrac{{3\sqrt 3 {{\rm{a}}^2}}}{{32}}\)

GTNN \({{\rm{S}}_{{\rm{OEHF}}}} = \dfrac{{3\sqrt 3 {{\rm{a}}^2}}}{{32}}\) khi \({\rm{M}}\) trùng với \({\rm{H}}\) hay \({\rm{M}}\) là trung điểm của \({\rm{BC}}\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link