Cho tam giác điều \({\rm{ABC}}\) cạnh \({\rm{a}}\), đường cao \({\rm{AH}}\) ( \({\rm{H}}\) thuộc
Cho tam giác điều \({\rm{ABC}}\) cạnh \({\rm{a}}\), đường cao \({\rm{AH}}\) ( \({\rm{H}}\) thuộc \({\rm{BC}}),{\rm{M}}\) là điểm bất kỳ trên cạnh \({\rm{BC}}\), vẽ \({\rm{ME}}\) vuông góc \({\rm{AB}}\) tại \({\rm{E}}\) và \({\rm{MF}}\) vuông góc \({\rm{AC}}\) tại \({\rm{F}}\). Gọi \({\rm{O}}\) là trung điểm của \({\rm{AM}}\).
a) Tứ giác OEHF là hình gì?
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tứ giác OEHF theo a khi \({\rm{M}}\) di động trên cạnh BC.
Quảng cáo
a) Ta có \(\widehat {{\rm{AEM}}} = \widehat {{\rm{AHM}}} = \widehat {{\rm{AFM}}} = {90^ \circ }\) suy ra 5 điểm \({\rm{A}},{\rm{E}},{\rm{H}},{\rm{F}},{\rm{M}}\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \({\rm{AM}}\)
Do \(\widehat {{\rm{EAM}}} = \widehat {{\rm{FAH}}} = {30^ \circ }\) suy ra \(\widehat {{\rm{EOH}}} = \widehat {{\rm{FOH}}} = {60^ \circ }\). Vậy OEHF là hình thoi
b) \({{\rm{S}}_{{\rm{OEHF}}}} = \dfrac{1}{2}{\rm{EF}}.{\rm{OH}}\)
Mà \({\rm{FE}} = {\rm{OH}}\sqrt 3 \) và \({\rm{OH}} = \dfrac{1}{2}{\rm{AM}} \ge \dfrac{1}{2}{\rm{AH}} = \dfrac{{{\rm{a}}\sqrt 3 }}{4};{\rm{AH}} = \dfrac{{{\rm{AB}}\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{{\rm{a}}\sqrt 3 }}{2}\);
Suy ra \({{\rm{S}}_{{\rm{OEHF}}}} = \dfrac{1}{2}{\rm{EF}} \cdot {\rm{OH}} = \dfrac{1}{2}\sqrt 3 {\rm{O}}{{\rm{H}}^2} = \dfrac{1}{8}\sqrt 3 {\rm{A}}{{\rm{M}}^2} \ge \dfrac{1}{8}\sqrt 3 {\rm{A}}{{\rm{H}}^2} = \dfrac{1}{8}\sqrt 3 {\left( {\dfrac{{{\rm{a}}\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} = \dfrac{{3\sqrt 3 {{\rm{a}}^2}}}{{32}}\)
GTNN \({{\rm{S}}_{{\rm{OEHF}}}} = \dfrac{{3\sqrt 3 {{\rm{a}}^2}}}{{32}}\) khi \({\rm{M}}\) trùng với \({\rm{H}}\) hay \({\rm{M}}\) là trung điểm của \({\rm{BC}}\)
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
