1. Cho biểu thức \(A = \left( {\dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 3}} + \dfrac{6}{{\sqrt x + 3}} -

Câu hỏi số 623501:

Vận dụng

1. Cho biểu thức \(A = \left( {\dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 3}} + \dfrac{6}{{\sqrt x + 3}} - \dfrac{{36}}{{9 - x}}} \right):\dfrac{{x - 2\sqrt x + 1}}{{x - 4\sqrt x + 3}}\) với \(x \ge 0;x \ne 1,x \ne 9\).

a) Rút gọn biểu thức \(A\).

b) Tìm tất cả các giá trị của \(x\) để \(A \ge 4\).

2. Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({x^3} - \left( {2m + 1} \right){x^2} + \left( {{m^2} + 2m - 1} \right)x - {m^2} + m = 0\) có ba nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2},{x_3}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 - 3{x_1}{x_2}{x_3} = 0\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:623501

Phương pháp giải

Tìm mẫu số chung, quy đồng rút gọn biểu thức

Xét trường hợp \(\sqrt x < 1\) và \(\sqrt x > 1\) để quy đồng mẫu số \(A \ge 4 \Leftrightarrow \sqrt x + 9 \ge 4(\sqrt x - 1)\)

Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow (*)\) có hai nghiệm phân biệt khác \({\rm{m}}\)

Giải chi tiết

1) \(A = \left( {\dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 3}} + \dfrac{6}{{\sqrt x + 3}} + \dfrac{{36}}{{(\sqrt x - 3)(\sqrt x + 3)}}} \right):\dfrac{{{{(\sqrt x - 1)}^2}}}{{(\sqrt x - 1)(\sqrt x - 3)}}\)

\(\begin{array}{l} = \dfrac{{x + 12\sqrt x + 27}}{{(\sqrt x - 3)(\sqrt x + 3)}}:\dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 3}}\\ = \dfrac{{(\sqrt x + 9)(\sqrt x + 3)}}{{(\sqrt x - 3)(\sqrt x + 3)}} \cdot \dfrac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x - 1}} = \dfrac{{\sqrt x + 9}}{{\sqrt x - 1}}\end{array}\)

Vậy \(A = \dfrac{{\sqrt x + 9}}{{\sqrt x - 1}}\) với \(x \ge 0;x \ne 1,x \ne 9\).

+ Vó́i \(\sqrt x < 1\) ta có \(A = \dfrac{{\sqrt x + 9}}{{\sqrt x - 1}} < 0\) : không thỏa mãn

+ Với \(\sqrt x > 1\) ta có: \(A \ge 4 \Leftrightarrow \sqrt x + 9 \ge 4(\sqrt x - 1)\)

\( \Leftrightarrow \sqrt x \le \dfrac{{13}}{3} \Leftrightarrow x \le \dfrac{{169}}{9}\)

Kết hợp với điều kiện của \(x\) ta được kết quả cần tìm là \(1 < x \le \dfrac{{169}}{9},x \ne 9\).

2) Phương trình đã cho tương đương với: \((x - m)\left[ {{x^2} - (m + 1)x + m - 1} \right] = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = m}\\{{x^2} - (m + 1)x + m - 1 = 0(*)}\end{array}} \right.\)

Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow (*)\) có hai nghiệm phân biệt khác \({\rm{m}}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\Delta = {m^2} - 2m + 5 > 0}\\{{m^2} - (m + 1)m + m - 1 \ne 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(m - 1)}^2} + 4 > 0}\\{ - 1 \ne 0}\end{array}} \right.} \right.\)

Các điều kiện trên luôn đúng với mọi \(m\), suy ra phương trình đã cho luôn có ba nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) và \({x_3} = m\) với mọi \(m\)

Từ giả thiết ta có: \({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} + {m^2} - 3m{x_1}{x_2} = 0\) (**)

Theo hệ thức Vi-ét, ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = m + 1}\\{{x_1} \cdot {x_2} = m - 1}\end{array}} \right.\). Thay vào \((**)\) được:

\({(m + 1)^2} - 2(m - 1) + {m^2} - 3m(m - 1) = 0 \Leftrightarrow - {m^2} + 3m + 3 = 0.{\rm{ }}\)

\( \Rightarrow {\rm{ }}m = \dfrac{{3 \pm \sqrt {21} }}{2}\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link