1. Cho đa thức \(P\left( x \right) = {x^5} + 2{x^4} - 2{x^3} + 8x + 1\) và số \(a = \sqrt[3]{{5\sqrt 2 -

Câu hỏi số 623502:

Vận dụng

1. Cho đa thức \(P\left( x \right) = {x^5} + 2{x^4} - 2{x^3} + 8x + 1\) và số \(a = \sqrt[3]{{5\sqrt 2 - 7}}\). Tính \(P\left( a \right)\).

2. Giải phương trình \({x^2} + 3x - 1 + 2\sqrt[3]{{{{\left( {{x^3} + x + 5} \right)}^2}}} = 5\sqrt[3]{{{x^3} + x + 5}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:623502

Phương pháp giải

1) Đặt \(a = \sqrt[3]{{5\sqrt 2 - 7}} = \sqrt 2 - 1 \Rightarrow {(a + 1)^2} = 2 \Rightarrow {a^2} + 2a - 1 = 0\)

Chia đa thức \(P(x)\) cho đa thức \({x^2} + 2x - 1 = 0\) và tính P(a)

2) Đặt \(a = x + 1,b = \sqrt[3]{{{x^3} + x + 5}}\) ta được phương trình: \({a^3} - 2{a^2} + 5a = {b^3} - 2{b^2} + 5b\)

Giải chi tiết

1) Ta có \(a = \sqrt[3]{{5\sqrt 2 - 7}} = \sqrt 2 - 1 \Rightarrow {(a + 1)^2} = 2 \Rightarrow {a^2} + 2a - 1 = 0\)

Chia đa thức \(P(x)\) cho đa thức \({x^2} + 2x - 1 = 0\) ta được:

\(P(x) = \left( {{x^2} + 2x - 1} \right)\left( {{x^3} - x + 2} \right) + 3x + 3\)

Suy ra \(P(a) = \left( {{a^2} + 2a - 1} \right)\left( {{a^3} - a + 2} \right) + 3a + 3 = 3a + 3\)

Từ đó tính được \(P(a) = 3\sqrt 2 \).

2) Đưa phương trình về dạng:

\({(x + 1)^3} - 2{(x + 1)^2} + 5(x + 1) = \left( {{x^3} + x + 5} \right) - 2{\left( {\sqrt[3]{{{x^3} + x + 5}}} \right)^2} + 5\sqrt[3]{{{x^3} + x + 5}}\)

Đặt \(a = x + 1,b = \sqrt[3]{{{x^3} + x + 5}}\) ta được phương trình: \({a^3} - 2{a^2} + 5a = {b^3} - 2{b^2} + 5b\)

\( \Leftrightarrow (a - b)\left( {{a^2} + ab + {b^2} - 2a - 2b + 5} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = b}\\{{a^2} + ab + {b^2} - 2a - 2b + 5 = 0}\end{array}} \right.\)

Với \(a = b{\rm{ }}\)ta có:

\(\begin{array}{l}x + 1 = \sqrt[3]{{{x^3} + x + 5}}\\ \Leftrightarrow {(x + 1)^3} = {x^3} + x + 5\\ \Leftrightarrow 3{x^2} + 2x - 4 = 0\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 1 \pm \sqrt {13} }}{3}\end{array}\)

Với \({a^2} + ab + {b^2} - 2a - 2b + 5 = 0\)

\( \Leftrightarrow {(a + b)^2} + {(a - 2)^2} + {(b - 2)^2} + 2 = 0\) vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x = \dfrac{{ - 1 \pm \sqrt {13} }}{3}\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link