1. Tìm ba số nguyên \(x,y,z\) thỏa mãn \({x^4} + 9{y^2} + 25{z^2} = {x^2} + 6xy + 2022\).2. Cho chín số

Câu hỏi số 623503:

Vận dụng cao

1. Tìm ba số nguyên \(x,y,z\) thỏa mãn \({x^4} + 9{y^2} + 25{z^2} = {x^2} + 6xy + 2022\).

2. Cho chín số nguyên dương \({a_1},{a_2}, \ldots ,{a_9}\) đều không có ước số nguyên tố nào khác \(3;5\) và 7 . Chứng minh rằng trong chín số đã cho luôn tồn tại hai số mà tích của hai số này là một số chính phương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:623503

Phương pháp giải

1) Biến đổi giả thiết về dạng \({\left( {{x^2} - 1} \right)^2} + {(x - 3y)^2} + {(5z)^2} = 2023\)

Dùng chữ số tận cùng của số chính phương để lập luận.

2) Dùng nguyên lý dirichlet

Giải chi tiết

Biến đổi giả thiết về dạng \({\left( {{x^2} - 1} \right)^2} + {(x - 3y)^2} + {(5z)^2} = 2023\)

Với x, y, z là các số nguyên ta có \({\left( {{x^2} - 1} \right)^2},{(x - 3y)^2},{(5z)^2}\) là các số chính phương (bình phương của số nguyên)

Mỗi số nguyên khi chia cho 8 được số dư là một trong các số \(0; \pm 1; \pm 2; \pm 3;4\)

\( \Rightarrow \) mỗi số chính phương khi chia cho 8 sẽ được số dư là một trong các số 0 ; 1 ; 4

Từ đó, \({\left( {{x^2} - 1} \right)^2} + {(x - 3y)^2} + {(5z)^2}\) là tổng của 3 số chính phương nên nó chia cho 8 sẽ được số dư là một trong các số 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6

Mặt khác, 2023 chia cho 8 có số dư là 7

Do vậy, không thể tìm được ba số nguyên x, y, z thỏa mãn yêu cầu của đề bài,

2) Giả sử \({a_1} = {3^{{m_1}}} \cdot {5^{{n_1}}} \cdot {7^{{p_1}}},{a_2} = {3^{{m_2}}} \cdot {5^{{n_2}}} \cdot {7^{{p_2}}}, \ldots ,{a_9} = {3^{{m_9}}} \cdot {5^{{n_9}}} \cdot {7^{{p_9}}}\) trong đó \({m_i},{n_i},{p_i}(i = 1;2; \ldots ;9)\) là các số tự nhiên.

Với mỗi \(i = 1;2; \cdots ;9\), bộ ba số \(\left( {{m_i};{n_i};{p_i}} \right)\) có tính chẵn \((c)\), lè \((l)\) theo thứ tự là một trong 8 trường hợp dưới đây

\((c;c;c),(c;c;l),(c;l;c),(c;l;l),(l;c;c),(l;c;l),(l;l;c),(l;l;l)\)

Theo nguyên lý Dirichlet, trong 9 bộ ba số \(\left( {{m_i};{n_i};{p_i}} \right)\) tồn tại ít nhất hai bộ ba số là \(\left( {{m_j};{n_j};{p_j}} \right)\) và \(\left( {{m_k};{n_k};{p_k}} \right)\), với \(j,k \in \{ 1;2; \ldots ;9\} \) và \(j \ne k\), cùng ở một trong 8 trường hợp trên \( \Rightarrow {m_j} + {m_k},{n_j} + {n_k},{p_j} + {p_k}\) là các số chẵn

\( \Rightarrow {m_j} + {m_k} = 2m;{n_j} + {n_k} = 2n;{p_j} + {p_k} = 2p(m,n,p \in \mathbb{N})\)

Từ đó \({a_j} \cdot {a_k} = {3^{{m_j} + {m_k}}} \cdot {5^{{w_j} + {m_k}}} \cdot {7^{{p_j} + {p_k}}} = {3^{2m}} \cdot {5^{2n}} \cdot {7^{2p}} = {\left( {{3^m} \cdot {5^n} \cdot {7^p}} \right)^2}\)

\( \Rightarrow {a_j} \cdot {a_k}\) là số chính phương \( \Rightarrow \) Điều phải chứng minh.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link