Cho ba số dương \(a,b,c\) thỏa mãn \(a + b + c = 3\). Chứng minh rằng \(abc\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}}

Câu hỏi số 623505:

Vận dụng cao

Cho ba số dương \(a,b,c\) thỏa mãn \(a + b + c = 3\). Chứng minh rằng \(abc\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \le 3\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:623505

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}3abc\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) = (a + b + c)abc\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\\ = (ca \cdot ab + ab \cdot bc + bc \cdot ca)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\\ \le \dfrac{{{{(ab + bc + ca)}^2}}}{3} \cdot \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\end{array}\)

(Dựa vào BĐT phụ: \(xy + yz + zx \le \dfrac{{{{(x + y + z)}^2}}}{3}\), dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow x = y = z\) )

.\(\begin{array}{l}\dfrac{{{{(ab + bc + ca)}^2}}}{3} \cdot \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\\ = \dfrac{1}{3}(ab + bc + ca)(ab + bc + ca)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\\ \le \dfrac{1}{3} \cdot {\left[ {\dfrac{{(ab + bc + ca) + (ab + bc + ca) + \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{3}} \right]^3}\\ = \dfrac{1}{3} \cdot {\left[ {\dfrac{{{{(a + b + c)}^2}}}{3}} \right]^3} = 9\end{array}\)

(Dựa vào BĐT Cô-si: \(x,y,z \ge 0 \Rightarrow xyz \le {\left( {\dfrac{{x + y + z}}{3}} \right)^3}\), dấu “=" xảy ra \( \Leftrightarrow x = y = z\) )

Từ đó suy ra \(abc\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \le 3\). Dấu " =" xảy ra \( \Leftrightarrow a = b = c = 1\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link