Cho nửa đường tròn $\left( {O;R} \right)$ đường kính $AB$. Gọi $M$ là một điểm thuộc nửa

Câu hỏi số 623504:

Vận dụng cao

Cho nửa đường tròn $\left( {O;R} \right)$ đường kính $AB$. Gọi $M$ là một điểm thuộc nửa đường tròn đã cho, $H$ là hình chiếu của $M$ trên $AB$. Đường thẳng qua $O$ và song song với $MA$ cắt tiếp tuyến tại $B$ của nửa đường tròn $\left( O \right)$ tại điểm $K$.

1. Chứng minh bốn điểm $O,B,K,M$ cùng thuộc một đường tròn.

2. Gọi $C,D$ lần lượt là hình chiếu của $H$ trên các đường thẳng $MA$ và $MB$. Chứng minh ba đường thẳng $CD,MH,AK$ đồng quy.

3. Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của $AH$ và $BH$. Xác định vị trí của điểm $M$ để diện tích tứ giác $CDFE$ đạt giá trị lớn nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:623504

Giải chi tiết

Ta có $\angle {KOB} = \angle {MAB}$ (hai góc đồng vị)

mà $\angle {MAB} = \dfrac{1}{2}\angle {MOB}$ (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung)

$ \Rightarrow \angle {KOB} = \dfrac{1}{2}\angle {MOB}$

$ \Rightarrow \angle {KOB} = \angle {KOM} \Rightarrow \Delta KOB = \Delta KOM{\rm{ (c}}{\rm{.g}}{\rm{.c) }}$

$ \Rightarrow \angle {KMO} = \angle {KBO} = {90^\circ }$

$ \Rightarrow \angle {KMO} + \angle {KBO} = {180^\circ }$

$ \Rightarrow $ tứ giác O B K M nội tiếp

Vậy 4 điểm O, B, K, M cùng thuộc một đường tròn.

Gọi $P$ là giao điểm của O K và M B. Từ $\angle {KMO} = \angle {KBO} = {90^\circ } \Rightarrow KM,KB$ là các tiếp tuyến của $(O) \Rightarrow P$ là trung điểm của M B

Gọi I, Q lần lượt là giao điểm của A K với M H và nửa đường tròn $(O)$

Ta có $\angle {BPK} = \angle {BQK} = {90^\circ } \Rightarrow $ tứ giác B P Q K nội tiếp

$ \Rightarrow \angle {MBK} = \angle {IQP}$

Mà ${\rm{ }}\angle {MBK} = \angle {IMP}{\rm{ }}$(so le trong)

$ \Rightarrow \angle {IQP} = \angle {IMP} \Rightarrow $tứ giác $MIPQ$ nội tiếp

Từ đó $\angle {MPI} = \angle {MQI}$, mà $\angle {MQI} = \angle {MBA}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung)

$ \Rightarrow \angle {MPI} = \angle {MBA} \Rightarrow IP{\rm{ }}\parallel {\rm{ }}AB$

Mặt khác, $P$ là trung điểm của $MB \Rightarrow I$ là trung điểm của $M H$, mà $M C H D$ là hình chữ nhật $ \Rightarrow I$ là trung điểm của $C D$

Vậy $C D, M H, A K$ đồng quy tại $I$.

Chỉ ra${\rm{ }}{S_{CDFE}} = 2{S_{IEF}} = IH \cdot EF = \dfrac{1}{2}MH \cdot \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}MH \cdot R$$

Từ đó, ${S_{CDFE}}$ đạt giá trị lớn nhất $ \Leftrightarrow MH$ đạt giá trị lớn nhất

$ \Leftrightarrow M$ là điểm chính giữa của cung .

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link