1) Rút gọn các biểu thức:\(M = \dfrac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} +

Câu hỏi số 623530:

Vận dụng

1) Rút gọn các biểu thức:

\(M = \dfrac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + \cdots + \dfrac{1}{{\sqrt {14} + \sqrt {15} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {15} + \sqrt {16} }}\)

\(N = \dfrac{{2\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\sqrt[3]{{6\sqrt 3 + 10}}}}{{\left( {\sqrt {10} - \sqrt 2 } \right)\sqrt {3 + \sqrt 5 } }}\)

2) Giải phương trình \(\left( {1 + 3x\sqrt {9{x^2} + 1} } \right)\left( {\sqrt {9{x^2} + 1} - 3x} \right) = 1\).

3) Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{x^2} + xy + 1 = 4x}\\{{x^3} + {x^2}y + y = 3x}\end{array}} \right.\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:623530

Phương pháp giải

Giải chi tiết

1) Rút gọn các biểu thức:

\(M = \dfrac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + \cdots + \dfrac{1}{{\sqrt {14} + \sqrt {15} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {15} + \sqrt {16} }}\)

\(M = \sqrt 2 - \sqrt 1 + \sqrt 3 - \sqrt 2 + \sqrt 4 - \sqrt 3 + \cdots + \sqrt {15} - \sqrt {14} + \sqrt {16} - \sqrt {15} \)

\(M = \sqrt {16} - 1 = 3\)

\(N = \dfrac{{2\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\sqrt[3]{{6\sqrt 3 + 10}}}}{{\left( {\sqrt {10} - \sqrt 2 } \right)\sqrt {3 + \sqrt 5 } }} = \dfrac{{2\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\sqrt[3]{{{{(\sqrt 3 + 1)}^3}}}}}{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)\sqrt {6 + 2\sqrt 5 } }}\)

\(N = \dfrac{{2\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)\left( {\sqrt 5 + 1} \right)}} = \dfrac{4}{4} = 1\)

2) Giải phương trình \(\left( {1 + 3x\sqrt {9{x^2} + 1} } \right)\left( {\sqrt {9{x^2} + 1} - 3x} \right) = 1\)

\(\dfrac{{1 + 3x\sqrt {9{x^2} + 1} }}{{\sqrt {9{x^2} + 1} + 3x}} = 1 \Leftrightarrow 1 + 3x\sqrt {9{x^2} + 1} = \sqrt {9{x^2} + 1} + 3x\)

\( \Leftrightarrow \left( {3x - 1} \right)\left( {\sqrt {9{x^2} + 1} - 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow 3x - 1 = 0{\rm{\;}}\) hoặc \(\sqrt {9{x^2} + 1} - 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{3}\) hoặc \(x = 0\). Vậy \(S = \left\{ {0;\dfrac{1}{3}} \right\}\).

3) Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{x^2} + xy + 1 = 4x}\\{{x^3} + {x^2}y + y = 3x}\end{array}} \right.\)

Ta có \(\left( {0;y} \right)\) không là nghiệm của hệ nên hệ phương trình đã cho được viết lại:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + y + \dfrac{1}{x} = 4}\\{{x^2} + xy + \dfrac{y}{x} = 3}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {x + y} \right) + \left( {x + \dfrac{1}{x}} \right) = 4}\\{\left( {x + y} \right)\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right) = 4}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 2}\\{x + \dfrac{1}{x} = 2}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = 1}\end{array}} \right.\).

Vậy hệ có tập nghiệm \(S = \left\{ {\left( {1;1} \right)} \right\}\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link