Cho tam giác nhọn \(ABC\,\,(AB < AC)\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\), có ba đường cao

Câu hỏi số 623533:

Vận dụng cao

Cho tam giác nhọn \(ABC\,\,(AB < AC)\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\), có ba đường cao \(AD,BE,CF{\rm{\;}}\left( {D \in BC,E \in AC,F \in AB} \right)\) cắt nhau tại \(H\). Tia \(AO\) cắt \(BC\) tại \(M\) và cắt \(\left( O \right)\) tại \(N\); gọi \(P,Q\) lần lượt là hình chiếu của \(M\) trên \(AB,AC\). Chứng minh:

1) \(DH\) là tia phân giác của \(\widehat {EDF}\).

2) \(\dfrac{{HE}}{{HF}} = \dfrac{{NB}}{{NC}}\)

3) \(HE.MQ \cdot HB = HF.MP.NC\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:623533

Giải chi tiết

1) Chứng minh: \(DH\) là tia phân giác của \(\widehat {EDF}\).

Chứng minh hai tứ giác \(BFHD,CEHD\) nội tiếp.

Suy ra \(\widehat {HDF} = \widehat {HBF};\widehat {HDE} = \widehat {HCE}\)

Mà \(\widehat {HBF} = \widehat {HCE}\) (cùng phụ với góc \(A\) )

Nên: \(\widehat {HDF} = \widehat {HDE}\)

Vậy \(DH\) là tia phân giác của \(\widehat {EDF}\).

2) Chứng minh: \(\dfrac{{HE}}{{HF}} = \dfrac{{NC}}{{NB}}\).

Ta có: \(NC \bot AC\) nên \(NC//BH\).

Tương tự, ta có \(NB//CH\).

Suy ra \(BHCN\) là hình bình hành.

Tứ giác \(BCEF\) nội tiếp, suy ra:

\(\widehat {FEH} = \widehat {BCH}\) và \(\widehat {FBH} = \widehat {ECH}\) nên hai tam giác .

Do đó, hai tam giác .

Suy ra \(\dfrac{{HE}}{{HF}} = \dfrac{{NB}}{{NC}}\).

3) Chứng minh: \(HE.MQ.HB = HF.MP.NC\)

\(MQ//NC\) (cùng vuông góc với \(AC\) ) \( \Rightarrow \dfrac{{MQ}}{{NC}} = \dfrac{{AM}}{{AN}}\)

\(MP//NB\) (cùng vuông góc với \(AB\) ) \( \Rightarrow \dfrac{{MP}}{{NB}} = \dfrac{{AM}}{{AN}}\)

\( \Rightarrow \)\(\dfrac{{MQ}}{{NC}} = \dfrac{{MP}}{{NB}} \Rightarrow \dfrac{{NB}}{{NC}} = \dfrac{{MP}}{{MQ}}\)

Mà \(\dfrac{{HE}}{{HF}} = \dfrac{{NB}}{{NC}}\), suy ra \(\dfrac{{HE}}{{HF}} = \dfrac{{MP}}{{MQ}} \Rightarrow HE.MQ = HF.MP\).

Lai có \(HB = NC\) (do \(HBNC\) là hình bình hành).

Vậy: \(HE.MQ.HB = HF.MP.NC\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link