a) Giải phương trình \(\sqrt {x + 1} + {x^2} - x = \sqrt {{x^2} + 1} \). b) Giải hệ phương trình

Câu hỏi số 623631:

Vận dụng

a) Giải phương trình \(\sqrt {x + 1} + {x^2} - x = \sqrt {{x^2} + 1} \).

b) Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(2xy - 1)}^2} + 4{x^2} = 5{y^2}}\\{2x\left( {x - {y^2}} \right) = {y^2} - y}\end{array}} \right.\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:623631

Phương pháp giải

1) Đặt \(a = \sqrt {x + 1} ,b = \sqrt {{x^2} + 1} \)

2) Đưa hệ về 1 phương trình một ẩn bàng cách rút thế và phép chia cho y

Giải chi tiết

a) Điều kiện \(x \ge - 1\).

Ta co \(\sqrt {x + 1} + {x^2} - x = \sqrt {{x^2} + 1} \)

\( \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} + {x^2} + 1 - (x + 1) = \sqrt {{x^2} + 1} .\)

Đặt \(a = \sqrt {x + 1} ,b = \sqrt {{x^2} + 1} \). Điè̀u kiện \(a \ge 0,b > 0\).

Khi đó phương trình trở thành: \(a + {b^2} - {a^2} = b\)

\( \Leftrightarrow (a - b)(a + b - 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = b}\\{a + b = 1.}\end{array}} \right.\)

Trường hợp 1. Nếu \(a = b \Rightarrow \sqrt {x + 1} = \sqrt {{x^2} + 1} \)

\( \Leftrightarrow x + 1 = {x^2} + 1 \Leftrightarrow x(x - 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1{\rm{ (tm) }}}\\{x = 0{\rm{ (tm)}}{\rm{. }}}\end{array}} \right.\)

Trường hợp 2. Nếu \(a + b = 1 \Rightarrow \sqrt {x + 1} + \sqrt {{x^2} + 1} = 1\).

Vi \(\sqrt {{x^2} + 1} > \sqrt 1 = 1;\sqrt {x + 1} > 0\), với mọi \(x \ge - 1\).

Suy ra \(VT > 1\), nên phương trình vô nghiệm.

Vậ phương trình \(\infty \) tập nghiệm \(S = \{ 1;0\} \).

b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(2xy - 1)}^2} + 4{x^2} = 5{y^2}}\\{2x\left( {x - {y^2}} \right) = {y^2} - y}\end{array}} \right.\)

(2) \( \Leftrightarrow (2xy - 1)y = 2{x^2} - {y^2}\).

- Nếu \(y = 0 \Rightarrow 4{x^2} + 1 = 0\) (vô lý), vì \(4{x^2} + 1 > 1 > 0\).

- Nếu \(y \ne 0\). Khi đó

Thế \(2xy - 1 = \dfrac{{2{x^2} - {y^2}}}{y}\) vào \((1)\), ta được

\({\left( {\dfrac{{2{x^2} - {y^2}}}{y}} \right)^2} + 4{x^2} = 5{y^2}, \left( 3 \right)\)

Đặt \(\dfrac{x}{y} = t\) và chia hai vế của \(\left( 3 \right)\) cho \({y^2}\), ta được:

\(\begin{array}{l}{\left( {2{t^2} - 1} \right)^2} + 4{t^2} = 5\\ \Leftrightarrow 4{t^4} - 4{t^2} + 1 + 4{t^2} = 5\\ \Leftrightarrow 4{t^4} = 4 \Leftrightarrow {t^4} = 1\\ \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {t + 1} \right)\left( {{t^2} + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1}\\{t = - 1}\end{array}.} \right.\end{array}\)\(\begin{array}{*{20}{r}}{}&{}\\{}&\;\\{}&\;\\{}&\;\\{}&\;\end{array}\)

Nếu \(t = 1 \Rightarrow x = y\) thế vào (2), ta được

\( \Leftrightarrow {x^2} = \left( {2{x^2} - 1} \right)x\)

\( \Leftrightarrow x\left( {2{x^2} - x - 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right) = 0\)

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0 \Rightarrow y = 0{\rm{\;}}\left( {{\rm{\;KTM\;v\`i \;}}y \ne 0} \right)}\\{x = 1 \Rightarrow y = 1}\\{x = \dfrac{{ - 1}}{2} \Rightarrow y = \dfrac{{ - 1}}{2}}\end{array}} \right.\)

Nếu \(t = - 1 \Rightarrow y = - x\), thế vào (2) ta được

\( \Leftrightarrow \left( {2{x^2} + 1} \right)x = {x^2}\)

\( \Leftrightarrow x\left( {2{x^2} - x + 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow y = 0{\rm{\;}}\) (loại vì \(y \ne 0)\).

Vì \(2{x^2} - x + 1 = 2{\left( {x - \dfrac{1}{4}} \right)^2} + \dfrac{7}{8} > 0\).

Vậy hệ có nghiệm \(\left( {1;1} \right),\left( {\dfrac{{ - 1}}{2};\dfrac{{ - 1}}{2}} \right)\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link